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Factorials and Integer Partitions

math
combinatorics
Factorials are commonly seen in combinatorics, and today we talk about some variants of them related to integer partitions. Recall that if one wish to count the number of…
2025/06/15
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short
 

对称群的复不可约表示

math
algebra
combinatorics
我们尽可能简明快速地完成对称群的复不可约表示的分类．本文主要微调自 [1, section 4.2]，亦少量参考 [2, chapter 2]．推荐读者阅读前熟悉群的复表示的基本常识 [3, chapter 1–2] 和群代数模的观点．
2025/06/08
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推广的 Cayley-Hamilton 定理及其应用

math
algebra
线性代数中的 Cayley-Hamilton 定理指出，域 \(K\) 上线性变换 \(\varphi\) 的特征多项式 \(f(\lambda) = \det(\lambda I_n - \Phi)\) 是它的一个零化多项式，这里 \(\Phi \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(K)\) 是 \(\varp…
2025/06/04
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short
 

有限群表示的 Maschke 定理是分裂模正合列的提升

math
algebra
所谓 Maschke 定理，是指有限群表示的半单（可完全分解）性．可以考虑如下正合列风格的理解．设 \(G\) 是有限群，\(K\) 是特征不为 \(|G|\) 的域，\(K[G]\) 是 \(G\) 的群代数；\(V\) 是 \(K[G]\)-模，\(U\) 为 \(V\) 的子模．我们有 \(K[G]\)-模正合列 \[ 0 \to U…
2025/05/25
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short
 

On Determining Prime Spectra of Some Coordinate Rings

with Applications to the Two Squares Theorem
math
algebra

Thanks to the powerful tools borrowed from commutative algebra, we show a general approach to determine the prime spectra of some coordinate rings by examples. As we determine the spectrum of the Gaussian integers, a proof of the famous two squares theorem emerges without tricky techniques.

2025/05/16
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On the Number of 3-Part Stable Partitions of the Half Graph

math
combinatorics
solution
Disclaimer: Results below are original and not formally verified. Stay sharp for potential mistakes.
2025/05/04
en
 

Classification of Quadratic Forms over \(\mathbb Q\)

math
algebra
number theory
talks

A reading guidance of the first part of J. P. Serre’s A Course in Arithmetic

2025/04/16
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【BICMR 怀新一题】人偶之舞 题解

math
analysis
number theory
solution
例 1 寻找各人偶速度 \(v_1,\dots,v_m \in \mathbb R / \mathbb Z\)，使得对任意的人偶起始位置 \(a_1,\dots,a_m \in \mathbb R / \mathbb Z\)，存在数列 \(N_k \subseteq \mathbb N\) 使得 Shanghai 人偶旋转 \(N_k\) 圈后，…
2025/01/17
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【ICPC 2024 Regional 昆明热身赛 D】LCA Determinant 题解

math
algorithm
combinatorics
original problem
solution
热身赛 D 供题人．原题出自 2023 年 BIT 校赛 H，非常荣幸被组题人收入热身赛供大家把玩．看到很多人对题目背后的动机感兴趣，也把题解放到这里，趁机聊聊此类行列式背后的技巧和理论．
2024/11/30
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原根、原根存在定理和模 m 剩余类环的乘法结构

math
algebra
number theory

应用代数工具，对模 \(m\) 剩余类环 \(\mathbb Z / m \mathbb Z\) 的乘法结构做出流畅的刻画，作为推论导出原根存在定理．面向有朴素抽象代数基础的 OI/XCPC 算法竞赛选手和学习过本科抽象代数课程的同学．

2024/09/22
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写在 Ancient Temple 发布之后

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Minecraft
music
照例写写后记。
2024/06/14
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casual
 

代数同构视角下的离散 Fourier 变换

多项式环、求值插值与相似对角化
math
algebra
talks
Fourier 变换：将给定函数 \(f\) 映为函数 \(\mathcal F[f]\)： \[ \mathcal F[f](\lambda) := \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{- \mathrm{i}\lambda t} \operatorname{d}\!t \]
2024/05/13
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矩阵代数的 Burnside 定理

math
algebra

我们详细重述并证明 Simultaneous Triangularization (H. Radjavi and P. Rosenthal) 中的 Burnside 定理及其相关推论．

2024/01/21
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一元多项式的 Delta 判别式

math
algebra
combinatorics
talks
设非负整数数列 \(\boldsymbol\lambda := (\lambda_1, \lambda_2, \dots)\) 只有有限项非零且（不严格）单调递减．定义长度 \(\mathcal L(\boldsymbol\lambda)\) 为其非零项元素个数；定义 \(\mathcal S(\boldsymbol\lambda)\) 为其非零…
2023/10/18
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A Convolution-Oriented FFT Tutorial

for OI/XCPC participants and algebra enthusiasts
algorithm
math
talks
初步要求
2023/08/01
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算法 & 数学碎碎念

algorithm
math
combinatorics

现场赛公式模板库，亦可作为小而精的总结性学习材料参考．无需单独成文或暂不完善的内容会放在这里．

2023/06/21
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CCPC 2023 湘潭邀请赛游记

tour
algorithm
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04:36，长沙返程的硬卧列车上。
2023/05/30
casual
 

Hilbert 曲线与集合势理论

math
topology
talks
（我们所讨论的）曲线：定义域为 \([0,1]\) 的连续映射．
2023/05/18
 

Wallis 公式、Stirling 公式与正态分布

math
analysis
probability
talks

以及双阶乘、中心二项式系数、Catalan 数的渐进估计和 Poisson 分布．

2023/04/23
 

一些数论算法的时间复杂度分析

algorithm
math
number theory
analysis

OI/XCPC 常见算法为主，渐进符号、约数函数、整除分块嵌套与杜教筛．

2023/04/18
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国家博物馆兼东单良乡骑行一日游

tour

或许是第一篇正常的游记（

2023/03/06
casual

聊聊红石音乐

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Minecraft
music
technical
Python

封存的幻想。

2023/02/17
casual
 

str 学数学 题解

algorithm
math
number theory
solution

挺有意思的一道数学题。

2023/02/13
 

算法竞赛向 C++ Standard Library 使用速查

algorithm
technical
C++
本文旨在对算法竞赛所需 C++ Standard Library 做一个全面而相对严谨的总结。
2023/01/24

Jekyll 2 Quarto: Academic Writing’s not All About PDF

博客搭建随想 Part II
site-related
technical
web
LaTeX
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PDF，我所欲也；HTML，亦我所欲也。二者不可得兼……

2022/12/26
casual
 

有限覆盖定理与实数理论

math
analysis
talks
为更好的证明本题，先引入 Bolzano-Weierstrass 定理的一种等价表述.
2022/12/13
 

关于泰勒展开拉格朗日余项中值点的渐进性

math
analysis
solution

中科大《数学分析教程》第三版问题 4.3.1

2022/11/02
 

关于 Python 的 import

technical
Python

__init__.py, sys.path, python -m and more…

2022/07/14
 

从台体的体积公式谈起

math

一些探究，一个证明，以及幂函数求导之类的玩意儿。

2022/03/27

原创生物必修一大题 - Creepus Explodus

Gaokao
original problem

文化课整活计划第三弹（

2022/02/24
 

DockerCompose+VLESS+WS+TLS+Web 方式搭建 V2Ray 代理

technical
web

无懈可击的超强配置搭建教程。

2022/02/04

原创生物选修一大题 - 药水酿造

Gaokao
original problem

文化课整活计划第二弹

2021/10/23

Cnblogs 2 Jekyll：从寄人篱下到手撸全站

博客搭建随想 Part I
site-related
technical
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某不务正业 OIer 摸鱼日记。

2021/08/17
casual

Jekyll 测试

A post model.

2021/08/17

reimu01

原创生物遗传大题 - 红白紫薇

Gaokao
original problem

文化课整活计划第一弹

2021/05/30
 

从不定方程的非负整数解个数谈起

algorithm
math
combinatorics

组合意义、Vandermonde 卷积、杨辉三角、生成函数、广义二项式定理、Burnside(Polya) 以及第一类斯特林数，你从未见过的全新解法。

2021/05/01

终末之章——CSP-S2020&NOIP2020退役记

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tour
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走了，回来了。不管如何，这条路似乎已经延伸得很漫长了。从兴趣，变成兼修，变成接近专修，又变回兴趣，这中间的路太长，以至于虽然百味杂陈，却说不出什么感想。
2020/12/06
casual
 

原创OI题目 GCD卷积 Problem and Solution

algorithm
math
combinatorics
original problem
solution
比赛用题面、题解、标程和数据生成器均已挂在 git@github.com:sun123zxy/gcdconv.git 上。
2020/12/06
 

原创OI题目 白银之春 Problem and Solution

algorithm
original problem
solution
比赛用题面、题解、标程和数据生成器都挂在 git@github.com:sun123zxy/spring.git 上。
2020/12/06
 

卡特兰数 题解

algorithm
combinatorics
solution
bsoj7107 ，来源不明。
2020/12/04
 

树的解构 题解

algorithm
probability
math
solution

一道并不是特别难但没有切掉的期望题。

2020/11/27
 

CodeChef-LECOINS Little Elephant and Colored Coins 题解

algorithm
solution
CodeChef-LECOINS Little Elephant and Colored Coins
2020/11/18
 

CodeChef-RNDRATIO Mysterious Ratio 题解

algorithm
math
number theory
solution

积性函数推式子纪念题。

2020/11/16

About

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说是 About，但莫名其妙写成了近况杂谈（笑）
2020/10/24
zh
casual
 

树上差分的两种形式（相遇 or 行程的交集 题解）

algorithm
solution
emm，这很NOIP…
2020/10/24
 

关于矩阵乘法结合律的证明

algorithm
math
upd 2021/08/13:
2020/06/06

等价类计数：Burnside引理 & Polya定理

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math
combinatorics
algebra

《同分异构体计数从入门到精通》（不是）

2020/03/21
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约数个数函数的一个性质证明，以及其推广

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math
number theory

关于 (d(AB) = {x|A} {y|B} [(x,y) = 1]) 的一系列推导。

2020/02/20

浅析一类要求相邻不同的环上染色问题

algorithm
math
combinatorics
solution

一类神烦的dp边界题。

2020/02/04
 

中国剩余定理（CRT）及其扩展（ExCRT）

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math
number theory
给定 \(n\) 个同余方程
2019/12/21
 

扩展欧几里得算法（ExGCD）

algorithm
math
ExGCD用于求解不定方程
2019/12/21
 

bsoj5988 [Achen模拟赛]期望 题解

algorithm
math
number theory
combinatorics
solution

“套着期望皮的容斥题。”

2019/12/18

涂色游戏 题解

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math
combinatorics
probability
solution

容斥、二项式反演、minmax容斥和树形dp，人类智慧神题。

2019/12/09

CSP-S2019游记

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tour
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你们这个CSP啊，Exciting！

2019/11/17
casual

[JZOJ A组]球 题解

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math
combinatorics
probability
solution
首先看到\(10^7\)的数据和仅有2个参数的较多询问，马上想到这是一道和预处理阶乘有关的题。
2019/10/12
 

由 [SDOI2012]Longge的问题 探讨欧拉函数和莫比乌斯函数的一些性质和关联

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math
number theory
solution
题目传送门：https://www.luogu.org/problem/P2303
2019/09/22

[NOIP模拟]文本编辑器 题解

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solution
bsoj5089 文本编辑器
2019/08/28
 

洛谷P5364 [SNOI2017]礼物 题解

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math
combinatorics
solution

求 (A_1 = 1,A_n = _{i=1}^{n-1} A_i + n^k) 的通项公式。

2019/07/01
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