从一般线性群 \(\operatorname{GL}_n(\mathbb F_q)\) 的 Sylow \(p\)-子群谈起
Rambling from the Sylow \(p\)-subgroups of the General Linear Group \(\operatorname{GL}_n(\mathbb F_q)\)
1 \(U\)
设 \(p\) 为素数，\(q = p^\alpha\)．我们引入一点先进的 \(q\)-analog 记号： \[ \begin{aligned}[] [n]_q &:= \frac{q^n - 1}{q - 1} = q^{n-1} + q^{n-2} + \cdots + q + 1 \\ [n]_q! &:= \prod_{i=1}^{n} [i]_q \end{aligned} \]
记 \(G:=\operatorname{GL}_n(\mathbb F_q)\)．回忆 \[ |G| = \prod_{i=0}^{n-1} (q^n - q^i) = q^{n(n-1)/2} \prod_{i=1}^{n} (q^i - 1) = q^{n(n-1)/2} (q-1)^n [n]_q! \] 故 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群的阶为 \(q^{n(n-1)/2}\)．这些子群长什么样子呢？
随便找一个先．例如取定某组基下对角线全一的上三角矩阵群 \(U\)（单位上三角矩阵群，unitriangular matrix group）．注意全体 Sylow \(p\)-子群相互共轭，故全体 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群恰为全体不同基下的单位上三角矩阵群．
那我问你，\(G\) 的 Sylow \(p\)-子群有多少个呢？根据群作用的观点，其数量应为 \([G : N_G(U)]\)．故只需给出正规化子 \(N_G(U)\) 的刻画．固然有 \(U \subseteq N_G(U)\)；简单验证也可得 \(B \subseteq N_G(U)\)，这里 \(B\) 是与 \(U\) 基底相同的可逆上三角矩阵群．我们断言：事实上 \(B = N_G(U)\)，于是 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群数量为 \[ \frac{q^{n(n-1)/2} (q-1)^n [n]_q!}{q^{n(n-1)/2} (q-1)^n} = [n]_q! \] 可以看出 \(q\)-analog 阶乘的记号的引入是有的放矢的．
下面证明这个断言．我们先引入一个定理：
证明. 用类似 Guass 消元的处理方法可见并的部分的正确性．具体来说，从第一列开始，自下而上找到第一个非零元，用它行变换消掉其上方所有非零元．接着处理第二列，直到最后一列．这些行变换操作对应的矩阵是上三角矩阵．得到的结果再进行一次行置换就可以得到上三角矩阵．
对于无交 / 唯一性，设 \(b_1 w_1 b_2 = b_3 w_2 b_4\)，则 \(w_1 (b_2 b_4^{-1}) = (b_2^{-1} b_3) w_2\)，只看对角线元素的移动情况即可断言 \(w_1 = w_2\)．详情可见 [1, chapter 2, section 4]．
继续证明断言．任取 \(g \in N_G(U)\)，则 \(g U g^{-1} = U\)．做 Bruhat 分解 \(g = b_1 w b_2\)，于是 \[ U = g U g^{-1} = b_1 w (b_2 U b_2^{-1}) w^{-1} b_1^{-1} = b_1 w U w^{-1} b_1^{-1} \] 移项得 \(b_1^{-1} U b_1 = w U w^{-1}\)，即 \(U = w U w^{-1}\)，看形状即可断言 \(w = 1\)．因此 \(g = b_1 b_2 \in B\)．故 \(N_G(U) \subseteq B\)，证毕．
注记. 注意 Bruhat 分解没有保证 \(b\) 的唯一性．例如： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \]
注记 (纤维丛？). Bruhat 分解这个无交并记号让人浮想联翩，一眼看上去像流形里面的纤维丛．\(S_n\) 本来就通过置换矩阵嵌入 \(\operatorname{GL}_n(F)\)，又根据 Bruhat 分解的唯一性，我们也有 \(\operatorname{GL}_n(F) \to S_n\) 的投影．要是这个投影是群同态就好了，可惜它不是——否则它的核是 \(B\)，但这东西根本不是正规子群．先进的 DeepSeek 给出了一个具体反例： \[ \begin{aligned} g &:= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ h &:= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \] 但 \[ gh = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} \]
\(S_n\) 当然也不是 \(\operatorname{GL}_n(F)\) 的正规子群，所以咱还是别想着能掏出正合列半直积什么的了．总之，\(B w B\) 是某种纤维．具体是什么样的呢？TODO．
2 \(B\)
问题得到解决的关键是发现 \(N_G(U) = B\)．进而容易意识到并证明 \(N_G(B) = B\)．这并不奇怪，因为一个还算为人熟知的 Sylow 定理指出
总之，我们也开始对 \(B\) 的性质感兴趣了．先不说别的，为什么用字母 \(B\) 呢——这是 Borel 子群的记号：
In the theory of algebraic groups, a Borel subgroup of an algebraic group G is a maximal Zariski closed and connected solvable algebraic subgroup.
Wikipedia
……叽里咕噜的说什么呢？一个一个看吧．
2.1 \(B\) 的可解性
考察交换子 \([b,c] := bcb^{-1}c^{-1}\) 的情况，这里 \(b,c \in B\)．只看对角线可见 \([b,c]\) 对角线全一，故 \([B,B] \leq U\)，只需研究 \(U\) 的可解性．设 \(b,c \in U\) 写作 \[ b := \begin{pmatrix} 1 & \beta_1 & * & * & * \\ 0 & 1 & \beta_2 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \beta_{n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad c := \begin{pmatrix} 1 & \gamma_1 & * & * & * \\ 0 & 1 & \gamma_2 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \gamma_{n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 用力计算 \[ b^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & - \beta_1 & * & * & * \\ 0 & 1 & - \beta_2 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -\beta_{n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ bc = \begin{pmatrix} 1 & \gamma_1 + \beta_1& * & * & * \\ 0 & 1 & \gamma_2 + \beta_2 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & b_{n-1} + \beta_{n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ [b,c] = bc b^{-1} c^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & * & * & * \\ 0 & 1 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
可以看到 \([b,c]\) 落到了某个更小的结构上．我们现在为 \(B\) 和 \(U\) 加上角标 \(n\) 来区分维度，则可以认为 \([U_n,U_n] \leq U_{n-1}\)，这里 \(U_{n-1}\) 通过单的群同态 \[ \begin{pmatrix} 1 & * & * & * \\ 0 & 1 & * & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & * \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 & * & * & * \\ 0 & 1 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 嵌入 \(U_{n}\)．现在结构相对明确了：我们有可解群链 \[ B_n \triangleright U_n \triangleright U_{n-1} \triangleright \cdots \triangleright U_1 = \{1\} \]
注记. \([B_n,B_n] = U_n\)？\([U_n,U_n] = U_{n-1}\)？TODO.
2.2 闭连通？
TODO．
2.3 极大？
TODO．
3 \(G/B\): Flag Variety
TODO．