Jacobson–Morozov：\(\mathfrak{sl}_2\) 在复半单李代数中的嵌入
幂零锥和其上的几何：以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例
我们在复半单李代数 \(\mathfrak g\) 中工作，并假设抽象 Jordan 分解、Killing 型和 Cartan 根空间分解理论已建立完毕．这一部分的标准参考是 [1, section 3.2–3.3]．
完整证明很长，先来看一些结果．
1 \(\mathfrak{sl}_n\) 的特例
首先，此定理在 \(\mathfrak{sl}_n\) 的情形下有一个显式的构造 [1, corollary 3.2.7]：对任意幂零元 \(e \in \mathfrak{sl}_n\)，适当共轭可将其化为 Jordan 标准型 \(J_\lambda\)，于是可以分块考虑．在每个大小为 \(m+1\) 的小块中，熟记 \(\mathfrak{sl}_2\) 的标准 \(m+1\) 维不可约表示 \[ e = \begin{pmatrix} 0 & m & & & \\ & 0 & m-1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ & & & & 0 \end{pmatrix} \quad f = \begin{pmatrix} 0 & & & & \\ 1 & 0 & & & \\ & 2 & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & m & 0 \end{pmatrix} \]
\[ h = \operatorname{diag}(m, m-2, \dots, -m+2, -m) \] 故适当放缩基向量就可对齐 \(e\) 并拼出 \(h\) 和 \(f\)．
2 Jacbobson–Morozov 定理的证明
这里给出的证明跟随 [1, theorem 3.3.1]．对维数 \(\mathfrak g\) 做归纳，则可以先假设 \(e\) 不落在 \(\mathfrak g\) 任何真半单子李代数中——否则直接在那个更小的半单李代数中构造 \(h\) 和 \(f\) 即可．这会帮我们在后面排除一大类讨论情况．
下面开始构造．先构造 \(h \in \mathfrak g\) 使得 \([h,e] = 2e\)，为此只需证明 \(e \in [e, \mathfrak g]\)．注意
\(e\) 的中心化子 \(\mathfrak z(e)\) 和 \([e,\mathfrak g]\) 互为（Killing 型意义下的）正交补： \[ \kappa(\mathfrak z(e), [e,\mathfrak g]) = \kappa([\mathfrak z(e), e], \mathfrak g) = 0 \] 故 \(\mathfrak z(e)\) 与 \([e,\mathfrak g]\) 正交．又由正合列 \[ 0 \longrightarrow \mathfrak z(e) \longrightarrow \mathfrak g \xrightarrow{\operatorname{ad}e} [e,\mathfrak g] \longrightarrow 0 \] 考察维数并使用 Killing 型在半单李代数中的非退化性就有正交补关系．注意此部分证明与 \(e\) 的幂零性无关．
\(e \in \mathfrak z(e)^\perp\)：对任意与 \(e\) 交换的 \(x \in \mathfrak z(e)\)，\(\operatorname{ad}x\) 也与 \(\operatorname{ad}e\) 交换，故 \(e\) 幂零即是 \(\operatorname{ad}e\) 幂零进而导致 \(\operatorname{ad}e \circ \operatorname{ad}x\) 幂零．因此 \(\kappa(e,x) = \operatorname{Tr}(\operatorname{ad}e \circ \operatorname{ad}x) = 0\)．
综上 \(e \in [e,\mathfrak g]\)，于是存在 \(h \in \mathfrak g\) 使得 \([h,e] = 2e\)．
再修改 \(h\) 使其半单．考虑 \(h\) 的抽象 Jordan 分解 \(h = h_s + h_n\)，其中 \(h_s\) 半单，\(h_n\) 幂零．注意 \(h_s\), \(h_n\) 均与 \(h\) 交换，故共享特征向量 \(e\)，因此 \([h_n, e] = 0\) 导致 \([h_s, e] = 2e\)．取新的 \(h := h_s\) 即可．
半单的 \(h\) 使得可以关于它将 \(\mathfrak g\) 做权空间分解 \(\mathfrak g = \bigoplus_{i \in \mathbb Z} \mathfrak g_i\)，于是 \(h \in \mathfrak g_0\)，\(e \in \mathfrak g_2\)，且容易验证 \([e, \mathfrak g_i] \subseteq \mathfrak g_{i+2}\)．现在来构造 \(f\)．它需要满足 \([h,f]=-2f\)，故应当在 \(\mathfrak g_{-2}\) 中寻找．它还需满足 \([e,f]=h\)，故只需证 \(h \in [e, \mathfrak g_{-2}]\)．如果我们暂时断言 \(h \in [e,\mathfrak g]\)，则 \(h \in \bigoplus_i [e, \mathfrak g_i]\)．但 \(h \in \mathfrak g_0\)，逼迫 \(h \in [e, \mathfrak g_{-2}]\)，证毕．
现在来证明断言 \(h \in [e,\mathfrak g]\)，已有的条件是 \([h,e] = 2e\) 及 \(h\) 半单．仍然用关系 \([e,\mathfrak g] = \mathfrak z(e)^\perp\)，只需证 \(h\) 与 \(\mathfrak z(e)\) 正交．注意 \(h\) 在 \(\mathfrak z(e)\) 上的伴随作用稳定且半单，因此可对 \(\mathfrak z(e)\) 做权空间分解 \(\mathfrak z(e) = \bigoplus_i \mathfrak z(e)_i\)．于是对任意 \(z_i \in \mathfrak z(e)_i\)， \[ 0 = \kappa([h,h],z_i) = \kappa(h, [h, z_i]) = i \cdot \kappa(h, z_i) \] 故 \(h\) 与 \(\mathfrak z(e)_i\) 正交对任意 \(i \neq 0\) 成立．
现在只需证 \(h\) 与 \(\mathfrak z(e)_0\) 正交．对任意 \(z_0 \in \mathfrak z(e)_0\)，注意 \(z_0\) 与 \(e\) 和 \(h\) 交换．不失一般性，可设 \(z_0\) 半单：
- 因为其半单部分 \((z_0)_s\) 与 \(h\) 正交当且仅当 \(z_0\) 与 \(h\) 正交：为此只需证幂零部分 \((z_0)_n\) 与 \(h\) 正交，这是因为 \((z_0)_n\) 与 \(z_0\) 交换进而与 \(h\) 交换，故 \(\operatorname{ad}h \circ \operatorname{ad}(z_0)_n\) 是幂零，因此 \(\kappa(h, (z_0)_n) = \operatorname{Tr}(\operatorname{ad}h \circ \operatorname{ad}(z_0)_n) = 0\)．
下面证明在上述限制下只能有 \(z_0 = 0\)，从而 \(h\) 与 \(\mathfrak z(e)_0\) 的正交性平凡．为此反设 \(z_0 \neq 0\)，需要使用一个结论：
- 约化李代数任意半单元的中心化子是也是约化李代数 [1, lemma 2.1.2]．
于是 \(\mathfrak z(z_0)\) 是约化李代数．\(\mathfrak g\) 半单中心平凡保证 \(\mathfrak z(z_0)\) 比 \(\mathfrak g\) 严格更小．注意 \(e, h \in \mathfrak z(z_0)\)，于是 \(2e = [h,e] \in [\mathfrak z(z_0), \mathfrak z(z_0)]\)，后者是一个半单李代数．终于，我们把 \(e\) 放到了一个比 \(\mathfrak g\) 严格更小的半单李代数 \([\mathfrak z(z_0), \mathfrak z(z_0)]\) 中，但是这与整个证明一开始的假设冲突．因此 \(z_0 = 0\)，\(h\) 与 \(\mathfrak z(e)\) 正交，断言得证．