Spec，可约与连通性

本文中环均为交换幺环．

1 定义

环的 Spec 是由它的素理想配备 Zariski 拓扑构成的拓扑空间，Zariski 拓扑的闭集由 \(V(I) = \{ \mathfrak p : I \subseteq \mathfrak p \}\) 组成，其中 \(I\) 是环的任意理想．

不可约是指 Spec 不能写成两个非空闭集的并．连通是指 Spec 不能写成两个非空不交闭集的并．

有一类特殊的环，它们是有限生成的 \(k\)-代数（\(k\) 是域），也即坐标环，总可以写成 \(k[x_1, \dots, x_n]/I\)．它们的 Spec 叫做代数集．

2 性质

2.1 Spec 不可约 => Spec 连通

不可约是比连通更强的性质：不可约的判否不要求两个闭集的交集非空，而连通的判否额外要求两个闭集的交集非空．

2.2 代数集：整环 <=> 不可约

对代数集（不限定基域）来讲，不可约性和坐标环的整环性等价：

• 如果可约，你手持两个并起来是整个的非空闭集 \(V(I)\), \(V(J)\)，任选非零的 \(f \in I\) 和 \(g \in J\) 就有 \(fg = 0\)，破坏了整环．
• 如果坐标环不是整环，你就有非平凡的 \(fg = 0\)，所以 \(V(f)\) 和 \(V(g)\) 是两个非空闭集，且 \(V(f) \cup V(g) = V(fg) = V(0)\) 整个，导致可约．

2.3 CRing \(\times\) <=> Spec \(\sqcup\)

环侧的 \(\times\) / 直积 对应 Spec 侧的无交并 / 直和．环的直积导致典型的不连通．

对非零环 \(A\), \(B\)，\(A \times B\) 的 Spec 与 \(\operatorname{Spec}A \sqcup \operatorname{Spec}B\) 同胚：

• 它的理想都形如 \(I \times J\)：总可以通过乘 \((1, 0)\) 和 \((0, 1)\) 来得到 \(I\) 和 \(J\)．
• 它的素理想都形如 \(\mathfrak p \times B\) 或 \(A \times \mathfrak q\)：如果 \(I \times J\) 是素理想，那么 \(I\) 或 \(J\) 必须是素理想，因为两侧的乘法互不干扰；也不能是 \(\mathfrak p \times \mathfrak q\)，否则可取 \(p \notin \mathfrak p\) 和 \(q \notin \mathfrak q\) 使得 \((p, *) (*, q) \in \mathfrak p \times \mathfrak q\)．
• \(V(I \times J) = \{ \mathfrak p \times B : \mathfrak p \in V(I) \} \cup \{ A \times \mathfrak q : \mathfrak q \in V(J) \}\)，这就把 \(\operatorname{Spec}(A \times B)\) 和 \(\operatorname{Spec}A \sqcup \operatorname{Spec}B\) 两个拓扑空间的闭集对应上了．

2.4 幂等元与 Spec 连通性

环 \(R\) 内每个幂等元 \(e\) 都对应一个 Spec 上的开闭集 \(V(e)\)：

• \(V(e)\) 也是开集：\(V(e) = D(1-e)\)．

• 单射性：假如 \(V(e_1) = V(e_2)\)，那么 \(\sqrt{(e_1)} = \sqrt{(e_2)}\)，不妨设 \(e_1^n = r e_2\)，但是 \(e_1\) 幂等，即 \(e_1 = re_2\)．同乘 \(e_2\) 得 \(e_1 e_2 = r e_2^2 = r e_2 = e_1\)．同理也有 \(e_2 = e_1 e_2\)，所以 \(e_1 = e_2\)．

• 满射性：对于任意开闭集 \(V(I)\)，令与它互补的开闭集为 \(V(J)\)，则 \[ \begin{aligned} V(I \cap J) = V(IJ) &= V(I) \cup V(J) = \operatorname{Spec}R \\ V(I + J) &= V(I) \cap V(J) = \emptyset \end{aligned} \] 推得 \(I \cap J \subseteq IJ\) 落在 nilradical \(\mathcal N(R)\) 中，且 \(I + J = R\)——comaximal．

  下面是一个类似中国剩余定理的小技巧．使用 comaximal 取出 \(x \in I\) 和 \(y \in J\) 使得 \(x + y = 1\)，因为 \(xy \in IJ \subseteq \mathcal N(R)\)，不妨设 \((xy)^n = 0\)，考察 \[ \begin{aligned} 1 &= (x + y)^{2n} \\ &= \sum_{i=0}^{2n} \binom{2n}{i} x^i y^{2n-i} \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} \binom{2n}{i} x^i y^{2n-i} + \sum_{i=n+1}^{2n} \binom{2n}{i} x^i y^{2n-i} \end{aligned} \] 设后两项分别为 \(d\) 和 \(e\)，则 \(d \in J\), \(e \in I\), \(d + e = 1\), \(de = 0\)，这样就证明了 \(d\) 和 \(e\) 是幂等元．

  现在注意以下关系：\(V(e) \subseteq V(I)\), \(V(d) \subseteq V(J)\) 且 \(V(e) \sqcup V(d) = \operatorname{Spec}R = V(I) \sqcup V(J)\)，即可迫使 \(V(e) = V(I)\) 和 \(V(d) = V(J)\)．

因此 Spec 连通当且仅当环内没有非平凡的幂等元．

Remark

注记. 这个二项式展开的技巧也可以用来证明：comaximal 的理想 \(I\) 和 \(J\) 的任意幂次 \(I^m\) 和 \(J^n\) 也是 comaximal 的．

Remark

注记. 当我们在 Noether 环上时，准素分解

Remark

注记. 注意 Noether 环中，Spec 的连通分支有限：否则这些闭集对应的理想形成无限升链．有限性导致连通分支既开又闭——此时开闭集与连通分支的各种取并一一对应，进而可以使用幂等元完整刻画连通分支，此时可以把环分解成与连通分支对应的有限直积．

2.5 f.g. 连通的话，是不是会导致 fiber dimension 恒定？

2.6 环侧的 \(\otimes\) / push-out 对应 Spec 侧的纤维积 / pull-back

3 使用例

3.1 \(V(xy)\)

来考察二维仿射平面上的 \(V(xy)\)．它的坐标环是 \(k[x,y]/(xy)\)，不是整环，因此可约——但 \(V(xy)\) 连通：

• 直观来看，\(V(xy)\) 是 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的并集，所以可约；它们在原点相交，所以连通．
• 严格来看，\(V(xy) = V(x) \cup V(y)\)，所以可约；\(V(x)\) 和 \(V(y)\) 都是不可约代数集，因此各自连通，它们交集还非空，纯点集拓扑论证（用连通性等价于所有到 \(\{0, 1\}\) 连续函数常值的等价刻画）可以保证并集也连通．

以防你想歪，别以为可以用中国剩余定理把坐标环分解成 \(k[x] \times k[y]\)：\((x)\) 和 \((y)\) 根本不是 comaximal 的——这俩一加等于 \((x,y)\)——恰好也对应了 Spec 那一侧交点．

3.2 局部环的 Spec 连通

因为极大理想只有一个，而 Zariski 拓扑的非空闭集都包含它，没法做不交的划分．

3.3 局部环的 Spec 什么时候可约？