Spec，可约与连通性
math
algebra
本文中环均为交换幺环．
性质：
Spec 不可约 => Spec 连通．
代数集的坐标环是整环 <=> 代数集不可约．
环侧的 \(\times\) / 直积 对应 Spec 侧的无交并 / 直和 —— 典型的不连通．
局部环的 Spec 连通：因为极大理想只有一个，闭集都包含它．
局部环的 Spec 什么时候可约？
幂等元与 Spec 连通性．
f.g. 连通的话，是不是会导致 fiber dimension 恒定？
环侧的 \(\otimes\) / push-out 对应 Spec 侧的纤维积 / pull-back
例子：
- \(V(xy)\)
对代数集来讲，不可约和坐标环是整环等价：
- 如果可约，你手持两个并起来是整个的非空闭集 \(V(I)\), \(V(J)\)，任选非零的 \(f \in I\) 和 \(g \in J\) 就有 \(fg = 0\)，破坏了整环．
- 如果坐标环不是整环，你就有非平凡的 \(fg = 0\)，所以 \(V(f)\) 和 \(V(g)\) 是两个非空闭集，且 \(V(f) \cup V(g) = V(fg) = V(0)\) 整个，导致可约．
不可约是比连通更强的性质：不可约的判否不要求两个闭集的交集非空，而连通的判否额外要求两个闭集的交集非空．
来考察二维仿射平面上的 \(V(xy)\)．它的坐标环是 \(k[x,y]/(xy)\)，不是整环，因此可约——但 \(V(xy)\) 连通：
- 直观来看，\(V(xy)\) 是 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的并集，所以可约；它们在原点相交，所以连通．
- 严格来看，\(V(xy) = V(x) \cup V(y)\)，所以可约；\(V(x)\) 和 \(V(y)\) 都是不可约代数集，因此各自连通，它们交集还非空，纯点集拓扑论证（用连通性等价于所有到 \(\{0, 1\}\) 连续函数常值的等价刻画）可以保证并集也连通．
以防你想歪，别以为可以用中国剩余定理把坐标环分解成 \(k[x] \times k[y]\)：\((x)\) 和 \((y)\) 根本不是 comaximal 的——这俩一加等于 \((x,y)\)——恰好也对应了 Spec 那一侧交点．
这不是奇怪的事情，因为 \(\times\) 这个事情基本上是不连通的同义词：对非零环 \(A\), \(B\)，\(A \times B\) 的 Spec 可以认为恰好是 \(\operatorname{Spec}A \sqcup \operatorname{Spec}B\)：
- 它的理想都形如 \(I \times J\)：总可以通过乘 \((1, 0)\) 和 \((0, 1)\) 来得到 \(I\) 和 \(J\)．
- 它的素理想都形如 \(\mathfrak p \times B\) 或 \(A \times \mathfrak q\)：如果 \(I \times J\) 是素理想，那么 \(I\) 或 \(J\) 必须是素理想，因为两侧的乘法互不干扰；也不能是 \(\mathfrak p \times \mathfrak q\)，否则可取 \(p \notin \mathfrak p\) 和 \(q \notin \mathfrak q\) 使得 \((p, *) (*, q) \in \mathfrak p \times \mathfrak q\)．
- \(V(I \times J) = \{ \mathfrak p \times B : \mathfrak p \in V(I) \} \cup \{ A \times \mathfrak q : \mathfrak q \in V(J) \}\)，这就把 \(\operatorname{Spec}(A \times B)\) 和 \(\operatorname{Spec}A \sqcup \operatorname{Spec}B\) 两个拓扑空间的闭集对应上了．