DVR–Dedekind 乱炖
一维 Noether 环的结构
上篇中对零维 Noether 环的结构做了详尽的分析，局部情形的主要结果如下：
本篇讨论一维 Noether 环的结构，尤其是性质最好的那一类：DVR 和 Dedekind 整环．
1 局部
仍然延续上篇的思路，对至多一维的 Noether 局部环 \(A\) 考察其极大理想 \(\mathfrak m\) 的降链 \[ A \supseteq \mathfrak m \supseteq \mathfrak m^2 \supseteq \dots \] 这个降链要么稳定，要么不稳定．如果稳定，Nakayama 引理 [1, proposition 2.6] 分析降链尾部稳定部分立得 \(\mathfrak m\) 幂零，于是由 定理 1，这是 \(A\) 零维的退化情况．
所以考虑降链不稳定的情况．我们指出这种情形下 \(A\) 必是整环：否则结合至多一维的要求，\(A\) 的幂零根（nilradical）恰为 \(\mathfrak m\)．但 Noether 环的幂零根作为理想幂零（[1, proposition 7.14]，理想有限生成+元素幂零+鸽巢原理），这样降链就稳定了，矛盾．
如果 \(A\) 是整环还零维的话就只能是域了，所以接下来设 \(A\) 是一维局部 Noether 整环．最容易想到的一类例子是
遗憾的是，不是所有的一维局部 Noether 整环都是 PID——反例稍后给出．\(k[x]_{(x)}\) 凭什么被认为是性质最好的一维局部 Noether 整环？它的优良性质有如下定理刻画：
证明. TODO：[1, proposition 9.2]
满足任一上述条件的一维局部 Noether 整环被称为离散赋值环（Discrete Valuation Ring, DVR）．
注记 (局部正则环). \(\dim_k (\mathfrak m / \mathfrak m^2)\) 也称为余切空间的维数．由 Nakayama 引理的推论 [1, proposition 2.8]，它也恰好是生成 \(\mathfrak m\) 的最小元素个数．
一般情况下，局部 Noether 环的余切空间维数大于等于 Krull 维数 [1, corollary 11.15]——这个事实的证明必须使用一点维数理论（如 Krull 主理想定理 [1, theorem 11.17]），我们不在此展开．当两者相等时，则称环是正则的（regular）[1, theorem 11.22]．可见 DVR 恰是一维正则局部环．
正则的几何含义是局部光滑、无奇点．
在整环的情形下，定理 2 中的等价条件还可以再添加一条：
证明. TODO：[1, proposition 9.2]
注记 (局部正规环). 整闭的 Noether 整环也被称为正规环（normal ring）．DVR 也恰是一维正规局部环．
- DVR 还有真的使用“离散赋值”的刻画，这里不做展开．
2 整体
来看整体．一般的讨论已经开始变得复杂：
证明 (一些不必要的一般讨论). 统一考察至多一维的 Noether 环 \(A\)．将极大理想换成 Jacobson radical 仍然有理想降链．类似地：
稳定时 Jacobson radical 仍然幂零．不过和我们在上篇中讨论过的一致，除非 \(A\) 是半局部环（极大理想数量有限），此时不一定是零维的退化情况，例如 \(k[x,y]/(xy)\) 就是一维的．
不稳定时 \(A\) 仍然必须是整环，可以证明此时 \(A\) 是半局部环：此时 \(\mathfrak J\) 非零，故 \(A / \mathfrak J\) 零维，极大理想数量有限，拉回 \(A\) 就得到证明．看上去很奇怪，不过这种环几何上一般是通过多点局部化得到的．
对零维的情况，上篇已经证明 \(A\) 可以写成局部 Artin 环的直积，故整个 \(A\) 是 PIR 当且仅当每个局部化都是 PIR．
让我们直接给出其中最好的一类：一维整闭 Noether 整环，即 Dedekind 整环．注意整闭是局部性质 [1, proposition 5.13]，因此对一维 Noether 整环而言，整闭即是要求它的每个素理想处局部化是 DVR．
注记 (全局的正则与正规). 对一般的 Noether 整环：
- 正则性定义为其每个素理想处的局部环均正则——by definition 的局部性质
- 整闭的 Noether 整环也被称为正规环（normal ring）——也是局部性质 [1, proposition 5.13]
注意在一维情形，化归到局部通过 DVR 做中转表明正则与正规等价．在高维情形，正则仍然强于正规【TODO】，但正规不一定保证正则．这里经典的例子是锥面 \(k[x,y,z]/(z^2-xy)\)——它是正规环【TODO】，但在原点处有奇点．
Dedekind 整环典型的例子有:
代数数域的整数环，即 \(\mathbb Z\) 在 \(\mathbb Q\) 的某一有限域扩张中的整闭包．[1, theorem 9.5]
非奇异的不可约代数曲线（一维代数簇）的函数环．注意曲线的非奇异性恰为每点局部化的正则性要求．
Dedekind 整环还有很多数论上的好性质，例如
- 所有准素理想都是某个素理想的幂次 [1, theorem 9.3]
- 所有理想都有唯一素理想乘积分解 [1, theorem 9.4]
- 每个理想至多由两个元素生成 [1, exercise 9.7]
等．这里就不展开了．
3 使用例
有一类经典的考题就是给一条上面有一个奇点的不可约代数曲线，求它函数环的整闭包．例如：
求 \(k[x,y] / (y^2 - x^2 - x^3)\) 的整闭包．
—— Yau Contest 2020 Algebra and Number Theory P3
这是一条形如 \(\propto\)，原点是奇点的不可约代数曲线．一般的处理手段是考虑参数化将曲线实现为参数曲线，即构造环同态 \[ \begin{aligned} k[x,y] / (y^2 - x^2 - x^3) &\to k[t] \\ x \mapsto t^2 - 1, \quad y &\mapsto t^3 - t \end{aligned} \] 这个环同态单且将后者实现为前者的有限生成模，即将前者实现为后者的整扩张，几何上就是在说这参数曲线是满射 [1, theorem 5.10]．
这对找整闭包有什么好处呢？好处是现在问题变成研究同态像 \(k[t^2-1,t^3-t] \subseteq k[t]\) 的整闭包了，可以在分式域 \(k(t)\) 里工作了．注意 \(t\) 满足关于 \(x = t^2-1\), \(y=t^3-t\) 的多项式 \(xt-y=0\)，所以整闭包至少包含 \(k[t]\)，再考虑到 \(k[t]\) 是 DVR，整闭的，我们所求就是 \(k[t]\)——即 \(k[x,y] / (y^2 - x^2 - x^3)\) 的整闭包可通过在其分式域添加函数 \(y/x\) 得到．
- 更多习题：Yau Contest 2021 Algebra and Number Theory P3
- 更多感觉：[2, section 4.3]
注记 (有理参数化). 有理参数化事实上是（不可约）代数曲线与一维仿射空间的双有理等价，是给定多项式方程在域 \(k(t)\) 中的求解问题．
不是所有曲线都能够被有理参数化．所有二次曲线、有一个奇点的三次曲线可以被有理参数化，一般来说这和投射曲线的 genus 有关【TODO】．