从台体的体积公式谈起
前些天做到一个猜圆台体两端电阻阻值公式的题，刚想积分乱搞时突然想起——台体不是有体积公式的吗…
于是就有下面的内容了。
台体本质上是锥体被一个平行与底面的平面所截而形成的几何体，所以可以把锥体补出来再研究。考虑从微积分的角度思考。设台体高度为 \(h\)，上、下底面面积分别为 \(S_1, S_2\)，上底面到锥体顶点的距离为 \(x\)。锥体的若干底面互相相似，而它们的的“半径”又与它们各自到锥体顶点的距离成正比，因此容易发现底面面积与该距离的平方成正比，即
\[ k = \frac{S_1}{x^2} = \frac{S_2}{(x+h)^2} \]
这是在三维空间里的情况。可以类比的写出 \(n\) 维台体的式子：
\[ k = \frac{S_1}{x^{n-1}} = \frac{S_2}{(x+h)^{n-1}} \]
（当然这里的 \(S_1,S_2\) 就是“超面积”了）
进一步的，可以将超面积写成关于与顶点距离的函数形式：
\[ \begin{aligned} S_1 &= S(x) = k x^{n-1} \\ S_2 &= S(x+h) = k (x+h)^{n-1} \end{aligned} \]
而我们要求的“超体积”，就可以顺理成章的表示为面积函数 \(S(x)\) 在垂直轴线上的积分了
\[ V = \int_{x}^{x+h} S(x) \mathrm d x = k \int_{x}^{x+h} x^{n-1} \mathrm d x = \frac k n \left( \left(x+h \right)^n - x^n \right) \]
这就是用微积分求到的台体体积公式。
那么问题来了——这种形式的台体体积公式和几何法得到的
\[ V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \]
有什么联系呢？
随便玩一下吧，\(\frac 1 3\) 毋庸置疑和三维有关，换成 \(\frac 1 n\) 就好；后面那一坨挺对称的还蛮好看，写个求和符号让它更好看吧（
于是猜测台体体积公式的 \(n\) 维扩展：
\[ V = \frac 1 n h \sum_{i=0}^{n-1} S_1^{\frac{i}{n-1}} S_2^{1-\frac{i}{n-1}} \]
用 \(S(x)\) 函数的形式替换 \(S_1, S_2\)，得
\[ V = \frac k h \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} \]
哎！与前面积分得出的台体体积公式比较，发现只需证明
\[ (x+h)^n - x^n = h \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} \]
试着证明一下吧。观察发现 \(h\) 可以拆成 \((x+h)-x\)，故右式可以写成
\[ \begin{aligned} h \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} &= ((x+h)-x) \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} \\ &= (x+h) \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} - x \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-i} - \sum_{i=1}^{n} x^i (x+h)^{n-i} \\ &= (x+h)^n - x^n \end{aligned} \]
得证。
暂时不知道这个定理有什么具体的名字，知道的大佬请告诉我（
所以这玩意有什么用呢？
首先当然是证明（超）台体体积公式，这个上面已经提到。
还有一个用途就是证明 \(n \in \mathrm{N_+}\) 的幂函数 \(x^n\) 的导数公式。
\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} x^n = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \lim_{h \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} = n x^{n-1} \]
看上去很方便的来着呢。