透镜成像乱炖

摘要

基于 Fermat 原理和 Snell 定律的双面薄透镜成像公式推导．

光学中，光线的传播路径满足 Fermat 原理——即光线在两点间传播的路径使得光程（optical path length）极小．折射定律（Snell’s Law）可以由同介质中光线直线传播，并移动交界点求导算得 \[ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \] 这里 \(n_1, n_2\) 分别是两介质的折射率，\(\theta_1, \theta_2\) 分别是入射角和折射角．

下面仅依赖 Fermat 原理和 Snell 定律解析薄透镜的成像原理．策略上，我们先处理单面透镜，然后推广到双面薄透镜；先证明单点成像清晰，再通过过光心光线和平行光交叉得到成像位置．

1 单面透镜

假设单面球面透镜是一个球面半径为 \(R\) 的球面，折射率为 \(n_1\)，球面外折射率为 \(n_0\)，光线只进不出．

1.1 单点成像

因为单面球面透镜具有旋转对称性，不失一般性，可以选取物点在主光轴上．设：

• 物点与入射点距离为 \(u\)，射出方向与主光轴夹角为 \(\alpha\)
• 折射点与主光轴距离为 \(h\)，与球心连线与主光轴夹角为 \(\beta\)
• 折射面入射角为 \(\theta_1\)，折射角为 \(\theta_2\)
• 出射光线与主光轴夹角为 \(\gamma\)，与主光轴的交点与入射点水平距离为 \(v\)

则可列方程组

\[ \begin{aligned} \tan \alpha &= \frac{h}{u} \\ \sin \beta &= \frac{h}{R} \\ \theta_1 &= \alpha + \beta \\ n_0 \sin \theta_1 &= n_1 \sin \theta_2 \\ \gamma &= \beta - \theta_2 \\ \tan \gamma &= \frac{h}{v} \\ \end{aligned} \]

图 1: 单面透镜成像

考虑近轴情形，即认为 \(h\) 很小，这样 \(\alpha, \beta, \gamma\) 也很小，可以一阶近似，算得 \[ \frac{n_0}{u} + \frac{n_1}{v} = \frac{n_1 - n_0}{R} \] 这里 \(v\) 与真实像点相差一个 \(o(h)\)．当 \(h\) 很小时，可以认为 \(v\) 只与 \(u\) 有关，从而所有从物点光线聚焦于一处，故在此处成像清晰．

提示Remark

注记. 不可忽略的 \(h\) 会导致球面像差．

1.2 焦距

平行光入射单面透镜时，设折射点与主光轴距离为 \(h\)，出射光线与主光轴夹角为 \(\gamma\)，与主光轴的交点与入射点水平距离为 \(f\)，折射面入射角为 \(\theta_1\)，折射角为 \(\theta_2\)，如图列出方程组

\[ \begin{aligned} \sin \theta_1 &= \frac{h}{R} \\ n_0 \sin \theta_1 &= n_1 \sin \theta_2 \\ \gamma &= \theta_1 - \theta_2 \\ \tan \gamma &= \frac{h}{f} \end{aligned} \]

图 2: 单面透镜平行光聚焦

同样作关于 \(h\) 的近轴一阶近似解得 \[ \frac 1 f = \frac {n_1 - n_0} {n_1 R} \] 故在无视 \(o(h)\) 意义下，平行光经过单面透镜后与主光轴交点与 \(h\) 无关，聚焦于距透镜 \(f = \frac {n_1 R}{n_1 - n_0}\) 处．

2 双面薄透镜

现在考虑双面薄透镜．双面，是指光线还会第二次折射离开透镜，球面半径先后为 \(R_1, R_2\)；薄，是指忽略不计透镜厚度，假装光线在透镜中传播时与主光轴距离不发生变化．

2.1 单点成像

已经知道单面透镜能将物点发出的光线聚焦于某一像点，将双面薄透镜的第二次折射反向视为虚像的入射，可知双面薄透镜同样能将物点发出的光线聚焦于某一像点．

2.2 焦距

来计算双面薄透镜的焦距．设经过第一次折射，焦点在折射点右侧 \(f_1\) 处，第二次折射时可反向考虑为从焦点 \(f\) 处出发的光线入射到第二个折射面在 \(-f_1\) 处成虚像，故 \[ \begin{aligned} \frac 1 {f_1} &= \frac {n_1 - n_0} {n_1 R_1} \\ \frac{n_0}{f} + \frac {n_1} {-f_1} &= \frac{n_1 - n_0}{R_2} \end{aligned} \] 解得双面薄透镜焦距 / 制镜公式（Lensmaker’s equation） \[ \frac 1 f = (n_1 - n_0) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \]

3 成像位置

设物点与入射点距离为 \(u\)，与主光轴距离为 \(h\)，成像位置与主光轴交点与入射点水平距离为 \(v\)，与主光轴距离为 \(h'\)．

由于已经证明了成像的清晰性，我们可以通过两条光线的交点确定像点位置——这一推导对单面透镜和双面薄透镜都适用．过光心的光线入射出射时法向均与垂直于折射面，故沿直线传播．平行光入射时，经过透镜后聚于距透镜 \(f\) 处．简单几何推演

\[ \frac {v-f} {f} = \frac {h'} {h} = \frac v u \]

图 3

可得单面薄透镜成像公式 \[ \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f} \]

这一公式描述了所有靠近主光轴的物点的成像规律．