透镜成像乱炖
光学中，光线的传播路径满足 Fermat 原理——即光线在两点间传播的路径使得光程（optical path length）极小．折射定律（Snell’s Law）可以由同介质中光线直线传播，并移动交界点求导算得 \[ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \] 这里 \(n_1, n_2\) 分别是两介质的折射率，\(\theta_1, \theta_2\) 分别是入射角和折射角．
下面解析薄透镜的成像原理．先做单面的情形．假设透镜是一个球面半径为 \(R\) 的球面，折射率为 \(n_1\)，球面外折射率为 \(n_0\)，光线只进不出．连接物点和球心作为 \(x\) 轴，考察与 \(x\) 轴夹角为 \(\alpha\) 的入射光线从物点出发，到达球面交点，再折射进入球内与 \(x\) 轴以 \(\gamma\) 角重新相交与的路径，设折射面入射角为 \(\theta_1\)，折射角为 \(\theta_2\)，折射点与球心连线与 \(x\) 轴夹角为 \(\beta\)，与 \(x\) 轴距离为 \(h\)，与物点 \(x\) 轴投影距离为 \(u\)，与最终交点 \(x\) 轴投影距离为 \(v\)．可列方程组
\[ \begin{aligned} \tan \alpha &= \frac{h}{u} \\ \sin \beta &= \frac{h}{R} \\ \theta_1 &= \alpha + \beta \\ n_0 \sin \theta_1 &= n_1 \sin \theta_2 \\ \gamma &= \beta - \theta_2 \\ \tan \gamma &= \frac{h}{v} \\ \end{aligned} \]
我们考虑近轴情形，即认为 \(h\) 很小，这样 \(\alpha, \beta, \gamma\) 也很小，可以一阶近似，算得 \[ \frac{n_0}{u} + \frac{n_1}{v} = \frac{n_1 - n_0}{R} \] 这里 \(v\) 与真实像点相差一个 \(o(h)\)．当 \(h\) 很小时，可以认为 \(v\) 只与 \(u\) 有关，从而所有从物点光线聚焦于一处，故在此处成像清晰．不可忽略的 \(h\) 会导致球面像差．
现在考虑双面薄透镜．双面，是指光线还会第二次折射离开透镜，球面半径先后为 \(R_1, R_2\)；薄，是指忽略不计透镜厚度，假装光线在透镜中传播时与主光轴距离不发生变化．设经过第一次折射，像点在折射点右侧 \(v_1\) 处，第二次折射时可反向考虑为从像点 \(v\) 处出发的光线入射到第二个折射面在 \(-v_1\) 处成虚像，故 \[ \begin{aligned} \frac {n_0} {u} + \frac {n_1}{v_1} &= \frac{n_1 - n_0}{R_1} \\ \frac{n_0}{v} + \frac {n_1} {-v_1} &= \frac{n_1 - n_0}{R_2} \end{aligned} \] 两式相加得制镜公式（Lensmaker’s equation） \[ \frac 1 {u} + \frac 1 {v} = (n_1 - n_0) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \] 我们如果定义 \(f\) 满足 \(1 / f = (n_1 - n_0) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)\)，便得到薄透镜成像公式 \[ \frac 1 u + \frac 1 v = \frac 1 f \] 虽然现在 \(f\) 的物理意义还不明确，马上会看到它是其实是焦距．
前面的双面薄透镜成像公式仅适用于主光轴上点的成像问题，尚需处理不在主光轴上点的成像问题．单面球面透镜额可以由对称性恰当选取主光轴穿过物点，故已经知道透镜确能将物点发出的光线聚焦于某一像点．我们只需要确定像点的位置．
考虑通过两条光线的交点确定像点：这需要我们了解平行光和过光心光线的成像性质．
过光心的光线，两球面法向均与主光轴一致，因此不发生折射，继续沿直线传播．平行光入射单面透镜时，仍列出方程组
\[ \begin{aligned} \sin \theta_1 &= \frac{h}{R} \\ n_0 \sin \theta_1 &= n_1 \sin \theta_2 \\ \gamma &= \theta_1 - \theta_2 \\ \tan \gamma &= \frac{h}{f} \end{aligned} \]
作近轴近似解得 \[ \frac 1 f = \frac {n_1 - n_0} {n_1 R} \] 故在无视 \(o(h)\) 意义下，平行光经过单面透镜后聚焦于距透镜 \(f\) 处．双面时，焦点成为虚像点，故 \[ \begin{aligned} \frac 1 {f_1} &= \frac {n_1 - n_0} {n_1 R_1} \\ \frac{n_0}{f} + \frac {n_1} {-f_1} &= \frac{n_1 - n_0}{R_2} \end{aligned} \] 解得薄透镜焦距公式 \[ \frac 1 f = (n_1 - n_0) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \]
综上，我们可以通过两条光线的交点确定像点位置：一条过光心不折射，另一条平行光经过透镜后聚于焦点处．简单几何推演可再次得薄透镜成像公式 \(\frac 1 u + \frac 1 v = \frac 1 f\)——这次的公式足以描述所有靠近主光轴的物点的成像规律．