诱导表示乱炖
在日常生产生活中，我们经常需要将一个群表示从一个子群扩展到整个群．在所有可能的选择中，诱导表示是最自然的一种．
本文口胡为主，严谨为辅，没有口胡的部分主要参考 [1]．
具体来说，设 \(H\) 是群 \(G\) 的一个子群，\(\theta: H \to \operatorname{GL}(W)\) 是 \(H\) 的一个表示，我们希望构造的诱导表示 \(\rho := \theta \uparrow_H^G : G \to \operatorname{GL}(V)\) 满足：
\((\theta, W)\) 是 \((\rho,V)\) 在 \(H\) 上的限制 \(\rho \downarrow_H^G\) 的子表示．
当无视 \(\rho\) 在 \(W\) 内部的置换效果时，\(\rho\) “表现得就像是” \(G\) 作用在左陪集族 \(G/H\) 上一样．具体来说，考虑 \(V\) 的如下子空间 \(\rho_\sigma W : \sigma \in G\)，因为 \(W\) 是 \(H\)-不变子空间，事实上可以用陪集 \(G/H\) 中的元素来标记这些子空间，故记 \(W_{\sigma H} := \rho_\sigma W\)．这些空间自然满足 \(\rho_g W_{\sigma H} = W_{g \sigma H}\)——这便是“长得像” \(G \curvearrowright G/H\) 的含义；同时我们希望这些 \(W_{\sigma H}\) 间两两无交，这样在线性空间意义下 \(V\) 就是所有 \(W_{\sigma H}\) 的直和．
存在性
那么这么好的表示存不存在呢？答案是我们可以嗯造．具体来说：
取一组 \(G/H\) 的代表元 \(\Sigma := \{ \sigma_1,\dots,\sigma_{|\Sigma|} \} \subset G\)．
令线性空间 \(V := \bigoplus_{\sigma \in \Sigma} W_{\sigma H}\)，这里每个 \(W_{\sigma H}\) 都是同构于 \(W\) 的线性空间．我们认为 \(W_H = W\)，并把这些同构写作 \(W \to W_{\sigma H}, w \mapsto w_{\to \sigma H}\)．
定义 \(V\) 上的群作用 \(\rho\)：对任意 \(g \in G\), \(\sigma_j \in \Sigma\) 和 \(w \in W\)，设 \(g \sigma_j\) 落在 \(\sigma_i \in \Sigma\) 对应陪集中，定义 \[ \rho_g (w_{\to\sigma_j H}) := (\theta_{\sigma_i^{-1} g \sigma_j}(w))_{\to \sigma_i H} \] 最后将定义线性张成到 \(V\) 即可．
验证它确实满足我们的期待：
\((\theta,W)\) 是它的子表示：对任意 \(g = h \in H\), \(w \in W\)，此时 \(\sigma_j = \sigma_i = \sigma_1 \in H\)，我们有： \[ \rho_h(w) = \theta_{\sigma_1^{-1}h \sigma_1}(w) \] 好像不太妙，因为我们是希望它等于 \(\theta_h(w)\) 的．但问题不大：至少 \((\theta, W)\) 是同构地嵌入 \((\rho, V)\) 的——只差一个共轭而已——在之前选取 \(G/H\) 的代表元时强行让 \(\sigma_1=1\) 也可以．
“长得像” \(G \curvearrowright G/H\)：对任意 \(g \in G\)，\(\rho_g\) 把 \(W_{\sigma_j H}\) 映到 \(W_{\sigma_i H} = W_{g \sigma_j H}\)，确实长得像．无交性根据构造自然成立．
矩阵表示与特征标
那么这是一个好的定义．我们来算一算它的矩阵表示．按 \(W_{\sigma H}\) 分块来看，在分块矩阵的第 \(j\) 列上，只有一个 \(\sigma_i\) 可使得 \(g \sigma_j H = \sigma_i H\)——便在这一列的第 \(i\) 行放入 \(\theta(\sigma_i^{-1} g \sigma_j)\) 的矩阵表示，其余位置置零．这里的描述由 [2, Definition 1.12.2] 看图说话得到．
下面算算它的特征标 \(\chi_\rho: G \to \mathbb C^\times\)，也就是 \(\rho(g)\) 对应矩阵表示的迹．想要在分块对角线上有所贡献的 \(W_{\sigma H}\) 至少需要满足 \(\sigma H = g \sigma H\)，即 \(\sigma^{-1} g \sigma \in H\)．此时，对角线上的分块矩阵是 \(\theta(\sigma^{-1} g \sigma)\) 的矩阵表示，故每个满足条件的 \(W_{\sigma H}\) 为特征标贡献 \(\chi_\theta (\sigma^{-1} g \sigma)\)，合计如下： \[ \chi_\rho(g) = \sum_{\substack{\sigma \in \Sigma \\ \sigma^{-1} g \sigma \in H}} \chi_\theta(\sigma^{-1} g \sigma) \]
诱导表示最基本的定义和性质差不多就是这样．有人可能会 argue 说你这个诱导表示的定义完全是凑出来的，一方面非常不自然，另一方面也不见得是唯一“好”的构造．所以下面谈谈其它不太 explicit 的构造方法和它的唯一性．
其它构造方法
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