有限群表示的 Maschke 定理是分裂模正合列的提升

所谓 Maschke 定理，是指有限群表示的半单（可完全分解）性．可以考虑如下正合列风格的理解．设 \(G\) 是有限群，\(K\) 是特征不为 \(|G|\) 的域，\(K[G]\) 是 \(G\) 的群代数；\(V\) 是 \(K[G]\)-模，\(U\) 为 \(V\) 的子模．我们有 \(K[G]\)-模正合列 \[ 0 \to U \xrightarrow{\iota} V \to V/U \to 0 \] 已经知道，上列作为 \(K\)-模正合列分裂，可设其有左分裂 \(K\)-模同态 \(\pi: V \to U\)．我们希望把这一分裂同态提升到 \(K[G]\)-模结构上．构造 \[ \begin{aligned} \tilde \pi : V &\to U \\ v &\mapsto \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} g \cdot \pi (g^{-1} \cdot v) \end{aligned} \] 验证它是 \(K[G]\)-模同态同时仍然满足 \(\tilde \pi \circ \iota = \mathrm{id}_U\) 即可．这样就得到 \(K[G]\)-模同构 \(V = U \oplus \ker \tilde \pi\)．