有限群表示的 Maschke 定理是分裂模正合列的提升
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algebra
所谓 Maschke 定理,是指有限群表示的半单(可完全分解)性.可以考虑如下正合列风格的理解.设 \(G\) 是有限群,\(K\) 是特征不为 \(|G|\) 的域,\(K[G]\) 是 \(G\) 的群代数;\(V\) 是 \(K[G]\)-模,\(U\) 为 \(V\) 的子模.我们有 \(K[G]\)-模正合列 \[ 0 \to U \xrightarrow{\iota} V \to V/U \to 0 \] 已经知道,上列作为 \(K\)-模正合列分裂,可设其有左分裂 \(K\)-模同态 \(\pi: V \to U\).我们希望把这一分裂同态提升到 \(K[G]\)-模结构上.构造 \[ \begin{aligned} \tilde \pi : V &\to U \\ v &\mapsto \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} g \cdot \pi (g^{-1} \cdot v) \end{aligned} \] 验证它是 \(K[G]\)-模同态同时仍然满足 \(\tilde \pi \circ \iota = \mathrm{id}_U\) 即可.这样就得到 \(K[G]\)-模同构 \(V = U \oplus \ker \tilde \pi\).