矩阵代数的 Burnside 定理
我们详细重述并证明 [1, Sec. 1.2] 中的 Burnside 定理及其相关推论．
下面设 \(V\) 是复数域 \(\mathbb C\) 上的有限维线性空间，\(\mathcal B(V)\) 是 \(V\) 上的线性变换代数；\(I\) 是 \(\mathcal B(V)\) 的单位元．称线性变换族 \(\mathcal C \subset B(V)\) 可约，当且仅当其存在非平凡不变子空间——即存在非零且不是全空间的子空间 \(M \subset V\)，使得对任意线性变换 \(A \in \mathcal C\)，都有 \(AM := \{ Ax : x \in M \} \subset M\)．
Burnside 定理证明较长．为使逻辑顺畅，先做一些准备工作．
Proof. 首先 \(\mathcal A \neq \{ 0 \}\)，因为任何 \(V\) 的子空间都是后者的不变子空间．
- 注意到 \(\operatorname{Ker}\mathcal A := \bigcap_{A \in \mathcal A} \operatorname{Ker}A\) 是 \(\mathcal A\) 的一个不变子空间，而 \(\mathcal A\) 不可约，故 \(\operatorname{Ker}\mathcal A = \{ 0 \}\) 或 \(V\)．因为 \(\mathcal A \neq \{0\}\)，后者不可能发生，故 \(\operatorname{Ker}\mathcal A = \{ 0 \}\)．
- 注意到 \(\mathcal A x := \{ A x : A \in \mathcal A \}\) 是 \(\mathcal A\) 的一个不变子空间，而 \(\mathcal A\) 不可约，故 \(\mathcal A x = \{ 0 \}\) 或 \(V\)．由 \(x \neq 0\) 和 \(\operatorname{Ker}\mathcal A = \{ 0 \}\)，前者不可能发生，故 \(\mathcal A x = V\)．
Remark. 事实上 \(\mathcal B(V)\) 上半群的可约性等价于其线性生成的代数的可约性，见 [1], Definition 2.1.1．
Proof. 定义 \(\mathcal A^* \varphi\) 的 annihilator \((\mathcal A^* \varphi)^0 := \{ x^{**} \in V^{**} : (\mathcal A^* \varphi)(x) = 0 \}\)．由 \(\dim (A^* \varphi)^0 = \dim V^* - \dim (A^* \varphi)\) 见 [2, Sec. 3F]， \[ \begin{aligned} \mathcal A^* \varphi = V^* &\iff \dim (\mathcal A^* \varphi) = \dim V^* \\ &\iff \dim (\mathcal A^* \varphi)^0 = 0 \\ &\iff (\mathcal A^* \varphi)^0 = \{0\} \end{aligned} \] 由 annihilator 的定义和 Lemma 1， \[ \begin{aligned} (\mathcal A^* \varphi)^0 = \{0\} &\iff (\mathcal A^* \varphi) x \neq \{0\},\quad \forall x \neq 0 \\ &\iff \varphi \mathcal A x \neq \{0\},\quad \forall x \neq 0 \\ &\iff \varphi V \neq \{0\} \\ &\iff \varphi \neq 0 \end{aligned} \] 故最终我们得到 \(\mathcal A^* \varphi = V^* \iff \varphi \neq 0\)．
若下面的猜想成立，则上述推论将具有更简单的推导．
我们暂未找到证明或证伪上述猜想的方法．
下面来证明 Burnside 定理．
首先说明 \(\mathcal B(V)\) 的不可约性．因为 \(\mathcal B(V) M = V\) 对任意非零不变子空间 \(M\) 成立，故 \(\mathcal B(V)\) 不可约．下面设 \(\mathcal A\) 是一任意给定的 \(\mathcal B(V)\) 的一个不可约子代数．显然 \(\mathcal A \neq \{ 0 \}\)，原因在 Lemma 1 中已述．我们的证明分三步进行：
- 证明 \(\mathcal A\) 中存在一个秩为 \(1\) 的线性变换 \(T_0\)．
- 证明所有 \(\mathcal B(V)\) 中秩为 \(1\) 的线性变换都在 \(\mathcal A\) 中．
- 证明任何 \(\mathcal B(V)\) 中的线性变换都可被分解为若干个秩不超过 \(1\) 的线性变换的和，从而（利用代数对加法的封闭性）\(\mathcal A = \mathcal B(V)\)．
Proof (第一部分). 由 \(\mathcal A \neq \{ 0 \}\)，可以取 \(T_0\) 是 \(\mathcal A\) 中的一个秩最小的非零线性变换，\(\operatorname{rank}T_0 \geq 1\)．考虑反证，假设 \(\operatorname{rank}T_0 \geq 2\)，只要构造出一个非零线性变换 \(S_* \in \mathcal A\) 使得 \(\operatorname{Im}S_* \subsetneq \operatorname{Im}T_0\)，就能推出矛盾．
由 \(\operatorname{rank}T_0 \geq 2\)，可设 \(\operatorname{Im}T_0\) 中存在两个线性无关的非零向量 \(\{ T_0 x_1,T_0 x_2 \}\)（因此 \(x_1\) 与 \(x_2\) 也线性无关）．由 Lemma 1，存在线性变换 \(A_0 \in \mathcal A\) 使得 \(A_0 T_0 x_1 = x_2\)，于是 \(\{ T_0 x_1,T_0 x_2 \} = \{ T_0 x_1, T_0 A T_0 x_1 \}\) 线性无关．这意味着 \((\lambda T_0 - T_0 A_0 T_0)x_1 \neq 0\) 对任意 \(\lambda \in \mathbb C\) 成立，即线性变换 \(S_\lambda := \lambda T_0 - T_0 A_0 T_0 \in \mathcal A\) 非零．下面尝试从这些 \(S_\lambda\) 中找到我们想要的 \(S_*\)．
- 注意到 \(S_\lambda = T_0(\lambda I - A_0 T_0)\)，故 \(\operatorname{Im}S_\lambda \subset \operatorname{Im}T_0\)．
- 注意到 \(S_\lambda = (\lambda I - T_0 A_0) T_0\)，而 \(\operatorname{Im}T_0\) 是 \(T_0 A_0\) 的一个不变子空间．故可以取 \(T_0 A_0\) 在 \(\operatorname{Im}T_0\) 上的限制 \(T_0 A_0 |_{\operatorname{Im}T_0}\)．设 \(T_0 A_0 |_{\operatorname{Im}T_0}\) 有一特征值 \(\lambda_0\)（由于 \(\operatorname{Im}T_0\) 是复数域上有限维线性空间），这样 \(\lambda_0 I - T_0 A_0 |_{\operatorname{Im}T_0}\) 就不是单射，因此也不是满射（由于 \(\operatorname{Im}T_0\) 是有限维线性空间），即 \(S_{\lambda_0} = (\lambda_0 I - T_0 A_0) T_0\) 不能映满 \(\operatorname{Im}T_0\)．
综上 \(\operatorname{Im}S_{\lambda_0} \subsetneq \operatorname{Im}T_0\) 且 \(0 \neq S_{\lambda_0} \in \mathcal A\)，故 \(S_{\lambda_0}\) 就是我们想要的 \(S_*\)．
Proof (第二部分). 对任意给定的某一秩为 \(1\) 的线性变换 \(T \in \mathcal B(V)\)，任取非零的 \(y \in \operatorname{Im}T\)，存在线性函数 \(\varphi \in V^*\) 使得 \(T x = \varphi(x) y,\, \forall x \in V\)．已经知道 \(\mathcal A\) 中存在一个秩为 \(1\) 的线性变换 \(T_0\)，则任取非零的 \(y_0 \in \operatorname{Im}T_0\)，存在线性函数 \(\varphi_0 \in V^*\) 使得 \(T_0 x = \varphi_0(x) y_0,\, \forall x \in V\)．
- 由 Lemma 1，存在 \(A \in \mathcal A\) 使得 \(A y_0 = y\)．
- 由 Corollary 1，存在 \(B \in \mathcal A\) 使得 \(\varphi_0 B = \varphi\)．
综上， \[ T x = \varphi(x) y = \varphi_0(Bx) A y_0 = A(\varphi_0(Bx) y_0) = A T_0 B x,\quad \forall x \in V \] 故 \(T = A T_0 B \in \mathcal A\)．
Proof (第三部分). 设 \(A \in \mathcal B(V)\) 是任一给定的线性变换，任取 \(V\) 中的一组基 \(b_1,\dots,b_n\)，设其对偶基为 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\)．定义关于基 \(b_1,\dots,b_n\) 的 \(n\) 个投影变换 \(P_k: x \mapsto \varphi_k(x) b_k\)，由对偶基性质，显然有 \(I = \sum_{k=1}^n P_k\)，于是 \[ A = A I = A \sum_{k=1}^n P_k = \sum_{k=1}^n A P_k \] 其中每一个 \(A P_k\) 都是秩不超过 \(1\) 的线性变换．
至此，Theorem 1 得到完整证明．
Burnside 定理可以为下面的定理提供一个较为简单的证明．
Proof. 显然 \(\{ 0 \}\) 和 \(\{ \mathcal B(V) \}\) 都是双边理想．下面任取一 \(\mathcal B(V)\) 上的双边理想 \(\mathcal I \neq \{ 0 \}\)，我们证明它不可约．任取 \(\mathcal I\) 的一个非零不变子空间 \(M\)，由 \(M,\, \mathcal I\) 的非零性和 \(\mathcal I V\) 的非零性， \[ M \supset \mathcal I M \supset \mathcal B(V) \mathcal I \mathcal B(V) M = \mathcal B(V) \mathcal I V = \mathcal B(V) (\mathcal I V) = V \] 故只能有 \(M = V\)，因此 \(\mathcal I\) 确不可约．现在 \(\mathcal I\) 是 \(\mathcal B(V)\) 的不可约理想，理想一定是子代数，根据 Theorem 1 就有 \(\mathcal I = \mathcal B(V)\)．
下面的定理为 \(\mathcal B(V)\) 上的全体代数自同构提供了表示方法．
将矩阵表示和线性空间的语言相结合，可以为该定理提供思路更清晰的证明．
Proof. 取定 \(V\) 上的一组基 \(x_1,\dots,x_n\)，定义 \[ E_{i,j}(x_1,\dots,x_n) := (x_1,\dots,x_n) \hat E_{i,j} \pod{i=1,2,\dots,n;\; j=1,2,\dots,n} \] 其中全体 \(\hat E_{i,j} \in \mathrm M_n(\mathbb C)\) 代表 \(n\) 阶矩阵空间的一组自然基．于是全体 \(E_{i,j}\) 自然也是 \(\mathcal B(V)\) 的一组基．现在只需研究自同构 \(\varphi\) 将 \(E_{i,j}\) 映至何处．为显式地将 \(S\) 确定出来，不妨先考虑 \(\varphi(E_{i,i})\) 的性质．
首先指出，\(\varphi(E_{i,i})\) 仍然是秩为 \(1\) 的投影变换，因为：
\(E_{i,i}\) 是投影变换，根据其幂等性和代数自同构保持乘法，\(\varphi(E_{i,i})\) 也是投影变换．
\(E_{i,i} \mathcal B(V) E_{i,i}\) 是 \(\mathcal B(V)\) 的 \(1\) 维子空间（从矩阵表示角度考虑），因此 \(\varphi(E_{i,i} \mathcal B(V) E_{i,i}) = \varphi(E_{i,i}) \mathcal B(V) \varphi(E_{i,i})\) 也是 \(\mathcal B(V)\) 的 \(1\) 维子空间．考虑到 \(\varphi(E_{i,i})\) 还是投影变换，故其秩只能为 \(1\)（同样从矩阵表示角度考虑）．
现在设 \(\operatorname{Im}\varphi(E_{i,i}) = \operatorname{span}\{y_i\}\)．因为 \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \operatorname{span}\{y_i\} &= \sum_{i=1}^n \varphi(E_{i,i}) V \\ &\supset \left( \sum_{i=1}^n \varphi(E_{i,i}) \right) V \\ &= \varphi \left(\sum_{i=1}^n E_{i,i} \right) V \\ &= \varphi(I) V = I V = V \end{aligned} \] 故 \(y_1,\dots,y_n\) 仍是 \(V\) 的一组基．定义可逆线性变换 \(S(x_1,\dots,x_n) := (y_1,\dots,y_n)\)．至此，断言 \(\varphi\) 就是 \(A \mapsto S A S^{-1}\)，为此下面证明 \(\varphi(E_{i,j}) = S E_{i,j} S^{-1}\)．
仍然先看 \(\varphi(E_{i,i})\)．已经知道 \(\varphi(E_{i,i})\) 是秩为 \(1\) 的投影变换，故 \[ \begin{aligned} &\phantom{\implies .} \varphi(E_{i,i}) y_i = y_i \\ &\implies \varphi(E_{i,i}) S x_i = S x_i \\ &\implies S^{-1} \varphi(E_{i,i}) S x_i = x_i \end{aligned} \] 容易验证 \(S^{-1} \varphi(E_{i,i}) S\) 幂等且秩为 \(1\)，因此只能有 \(S^{-1} \varphi(E_{i,i}) S = E_{i,i}\)，即 \(\varphi(E_{i,i}) = S E_{i,i} S^{-1}\)．
现在看 \(\varphi(E_{i,j})\)，为此考察 \(S^{-1} \varphi(E_{i,j}) S\) 将 \(x_1, \dots, x_n\) 映至何处．事实上 \[ \begin{aligned} &\phantom{\implies .} \varphi(E_{i,j}) \varphi(E_{j,j}) = \varphi(E_{i,j} E_{j,j}) = \varphi(E_{i,j}) \\ &\implies \varphi(E_{i,j}) S E_{j,j} S^{-1} = S E_{i,j} S^{-1}\\ &\implies S^{-1} \varphi(E_{i,j}) S E_{j,j} = E_{i,j}\\ &\implies S^{-1} \varphi(E_{i,j}) S x_j = x_i \end{aligned} \] 且对任何 \(k \neq j\)， \[ \begin{aligned} (S^{-1} \varphi(E_{i,j}) S) x_k &= S^{-1} \varphi(E_{i,j}) y_k \\ &= S^{-1} \varphi(E_{i,j} E_{j,j}) y_k \\ &= S^{-1} \varphi(E_{i,j}) (\varphi(E_{j,j}) y_k) \\ &= 0 \end{aligned} \] 故可以断定 \(S^{-1} \varphi(E_{i,j}) S = E_{i,j}\)，即 \(\varphi(E_{i,j}) = S^{-1} E_{i,j} S\)．
Remark. 研究 \(\mathcal B(V)\) 上的自同态时，可能在应用线性变换关于其作用域 \(V\) 的性质时遇到困难．这时需要将其合理转化为 \(\mathcal B(V)\) 上的代数性质，如考虑投影变换的幂等性，将投影变换秩为 \(1\) 转化为 \(\mathcal B(V)\) 上的 \(1\) 维子空间等．这些技巧在证明中多次使用．