有限群表示论：Peter–Weyl 定理

1 从左模到双模

有限群表示论的一个经典结果是正则表示的分解： \[ \mathbb C[G] \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus \dim V_i} \] 这里 \(\mathbb C[G]\) 是群 \(G\) 的群代数，\(V_i\) 是 \(G\) 的全体不可约表示．这只是个左 \(\mathbb C[G]\)-模的分解：\(\mathbb C[G]\) 被分解成了其单左理想的直和．但是 \(\mathbb C[G]\) 是个环，完整来说我们应该研究其作为 \(\mathbb C\)-代数的分解．Peter–Weyl / Wedderburn–Artin 定理给出了它的分解： \[ \mathbb C[G] \cong \bigoplus_i \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i) \cong \bigoplus_i V_i \otimes_{\mathbb C} V_i^* \] 可见其结构确实变得更加丰富．稍做辨析：

1.1 双模观点

• 这里每份投影 \(\pi_i: \mathbb C[G] \to \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 都是表示 \(\rho_{V_i} : G \to \operatorname{GL}(V_i)\) 直接线性扩张得到——因此 Peter–Weyl 定理实质上是在说，\(\mathbb C[G]\) 在其每个不可约表示上的作用完全决定了 \(\mathbb C[G]\) 的代数结构．

• 容易验证每个 \(\pi_i\) 都是 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\)-代数同态——保加法，保乘法，保数乘，保左、右 \(G\)-作用．这里的分解是在此意义下的同构．

• \(V_i\) 是 \(G\) 的不可约表示，配备左 \(\mathbb C[G]\)-模结构．

• \(V_i^*\) 是 \(V_i\) 的对偶空间，配备右 \(\mathbb C[G]\)-模结构 \((f \cdot g)(v) := f(g \cdot v)\)．

提示Remark

注记. 在经典的有限群表示论中，那时我们希望 \(V_i^*\) 是左 \(\mathbb C[G]\)-模，所以当时配备的是 \((f \cdot g)(v) := f(g^{-1} \cdot v)\)．这里就是想要右模结构，所以不用取逆生造了．

• \(V_i \otimes_{\mathbb C} V_i^*\) 通过 \((\mathbb C[G], \mathbb C)\)-双模和 \((\mathbb C, \mathbb C[G])\)-双模的张量积获得一个 \((\mathbb C[G],\mathbb C[G])\)-双模结构： \[ g \cdot (v \otimes f) \cdot h := (g \cdot v) \otimes (f \cdot h) \] 其内部乘法是缩并运算．这使得其成为一个 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\)-代数．

• 对左 \(\mathbb C[G]\)-模 \(U\), \(W\)，为了使自然同构 \(W \otimes_{\mathbb C} U^* \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb C}(U,W)\) 成立，为 \(\operatorname{Hom}_{\mathbb C}(U,W)\) 配备 \((\mathbb C[G],\mathbb C[G])\)-双模结构 \[ (g \cdot \varphi \cdot h)(u) := g \cdot \varphi(h \cdot u) \] 特别地，在 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i) = \operatorname{Hom}_{\mathbb C}(V_i, V_i)\) 定义内部乘法是函数复合，则 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 也获得 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\)-代数结构．

提示Remark

注记. 平时仅考虑左模结构时，为使记号对齐，通常喜欢写 \(\operatorname{Hom}_{\mathbb C}(V,W) \cong V^* \otimes_{\mathbb C} W\)——这无伤大雅，反正 \(V^*\) 强行通过 \(g^{-1}\) 获得了左 \(\mathbb C[G]\)-模结构．但对双模的情况，左 \(\mathbb C[G]\)-作用是由 \(W\) 负责，右 \(\mathbb C[G]\)-作用是由 \(V^*\) 负责，我们就最好不要交换它们了．

• 不会因为仅将此分解视为环的分解受到任何处分——通过表示诱导的映射 \(\pi_i : \mathbb C[G] \to \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 足以将 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 上的乘法结构拉回得到其 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\)-双模结构．

• 反过来，仅考虑 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\)-双模结构也没有问题：将会证明 \(\pi_i\) 是满射，即每个 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 都是可以写作某一 \(\mathbb C[G]\)-左作用．

1.2 左模观点

考虑到群代数有对极映射 \(g \mapsto g^{-1}\)，这使得可以将任何 \(V\) 上的 \((G,H)\)-双边表示结构强行翻成 \(G \times H\)-群表示结构研究： \[ (g,h) \cdot v := g \cdot v \cdot h^{-1} \] 或在模的语言下：任何 \((\mathbb C[G], \mathbb C[H])\) 双模结构可被强行翻成 \((\mathbb C[G] \otimes_{\mathbb C} \mathbb C[H])\) 结构．这样的好处是可以直接套用之前对群表示的语言来表达双模．例如，在此风格表述下的 Peter–Weyl 定理 \[ \mathbb C[G] \cong \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i) \cong \bigoplus_i V_i \otimes_{\mathbb C} V_i^* \] 应当理解为 \(\mathbb C[G]\) 作为 \(G \times G\)-群表示的分解，其中

• \(\otimes_{\mathbb C}\) 是 \(G \times G\)-群表示的张量积
• \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 是 \(G \times G\)-表示，其上第一个 \(G\)-自然作用在值域 \(V_i\)，第二个 \(G\)-作用取逆作用在定义域 \(V_i\)
• \(V_i\) 是 \(G \times G\)-表示，其上第一个 \(G\)-作用自然，第二个 \(G\)-作用平凡
• \(V_i^*\) 是 \(G \times G\)-表示，其上第一个 \(G\)-作用平凡，第二个 \(G\)-作用取逆作用在定义域 \(V_i\)

提示Remark

注记. 这似乎只是把双边代数表示翻译到 Hopf 代数表示的抽象废话，但在如 Schur–Weyl 对偶中，会看到这种翻译能有效简化表述．

2 证明

我们提供几条依赖不同工具的证明路线，读者可按前置情况任选．

• 有关有限群表示论的基础内容可参见有限群表示论速通．

先证 \(\pi\) 是单射：

• 这里的证明依赖有限群表示论的 Maschke 定理（半单性）．

  若一 \(\mathbb C[G]\) 元素在每个不可约表示上作用均为 \(0\)，由半单性，\(\mathbb C[G]\) 自己分解成若干不可约表示的直和，所以该元素在 \(\mathbb C[G]\) 上作用也为 \(0\)．\(\mathbb C[G]\) 在自己上作用当然是忠实的，所以该元素只能是 \(0\)．

则只需证 \(\pi\) 是满射．这里有多种可供选择的路线：

• 依赖有限群表示论的维数平方和公式 \(\sum_i (\dim V_i)^2 = |G|\)：[1, Proposition 3.29]

  \(\dim \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i) = (\dim V_i)^2\)，\(\dim \mathbb C[G] = |G|\) 维数逼迫单射 \(\pi\) 也是满射．

• 依赖 矩阵代数的 Burnside 定理，该定理的证明可以仅依赖初等线性代数：

  • 复数域上矩阵代数的含幺子结合代数如果不可约，则一定是整个．

  则考察含幺结合代数 \(\mathbb C[G]\) 在 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 上的像，确为 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 的不可约含幺子结合代数．故根据 Burnside 定理，\(\mathbb C[G]\) 在每个 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 上的像都必须是全体．

提示Remark

注记. 依赖 Burnside 定理的满射性证明甚至不需要 \(G\) 是有限群，

我们还可以显式构造 \(\pi\) 的逆 \(\iota\) 来获得一个构造性的证明：

• 先来构造 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\) 双模同态 \(\iota_i: \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i) \to \mathbb C[G]\)： \[ \varphi \mapsto \frac{\dim V_i}{|G|} \sum_{g \in G} \operatorname{Tr}(\varphi \circ \rho_{V_i}(g^{-1})) g \] 等价地，\(V_i \otimes_{\mathbb C} V_i^* \to \mathbb C[G]\) 的版本是 \[ v \otimes f \mapsto \frac{\dim V_i}{|G|} \sum_{g \in G} f(g^{-1} \cdot v) g \] 固定 \(V_i\) 一组基 \((e_i^k)\) 并生成 \(V_i^*\) 上的对偶基 \((f_i^j)\)，则此映射有矩阵风格的解读：将 \(g \in G\) 映射到 \(\rho_{V_i}(g^{-1})\) 的第 \(j\) 行第 \(k\) 列元素取出得到一 \(L^2(G)\) 内函数 \[ \rho_{V_i}^{j, k}(g) := f_i^j(\rho_{V_i}(g^{-1}) \cdot e_i^k) \] 再等价地看作 \(\mathbb C[G]\) 的元素，最后适当归一化．

• 我们可以证明 \(\iota_i\) 是单射，且每个 \(\iota_i\) 的像之间两两正交．

  \(L^2(G)\) 上有函数空间的标准内积．考虑 \(e_{i_2}^{k_2} \otimes f_{i_1}^{j_1} \in V_{i_2} \otimes_{\mathbb C} V_{i_1}^* \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb C}(V_{i_1}, V_{i_2})\)，对其平均化得 \[ \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \rho_{V_{i_2}}(g) \circ \left( e_{i_2}^{k_2} \otimes f_{i_1}^{j_1} \right) \circ \rho_{V_{i_1}}(g^{-1}) \in \operatorname{Hom}_G(V_{i_1}, V_{i_2}) \] 再对此 \(\operatorname{Hom}_G(V_{i_1}, V_{i_2})\) 中映射取第 \(j_2\) 行第 \(k_1\) 列元素得 \[ \begin{aligned} &\phantom{=} \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} f_{i_2}^{j_2} \left( \rho_{V_{i_2}}(g) \circ \left( e_{i_2}^{k_2} \otimes f_{i_1}^{j_1} \right) \circ \rho_{V_{i_1}}(g^{-1}) \cdot e_{i_1}^{k_1} \right) \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \rho_{V_{i_2}}^{j_2, k_2}(g) \cdot \rho_{V_{i_1}}^{j_1, k_1}(g^{-1}) \\ &= \langle \rho_{V_{i_2}}^{j_2, k_2}, \rho_{V_{i_1}}^{j_1, k_1} \rangle \end{aligned} \] 回忆 Schur 引理对 \(\operatorname{Hom}_G (V_{i_1}, V_{i_2})\) 的刻画，这恰是在说此内积非零当且仅当 \(i_1 = i_2\) 且 \(j_1 = j_2\) 且 \(k_1 = k_2\)．因此 \(\rho_{V_{i}}^{j, k}\) 两两正交．当 \(i=i_1=i_2\), \(j=j_1=j_2=k=k_1=k_2\) 时，\(e_i^j \otimes f_i^j \in \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 的迹为 \(1\)，而平均化不改变迹并将其变为 \(V_i\) 上的数乘，因此 \(\langle \rho_{V_i}^{j, k}, \rho_{V_i}^{j, k} \rangle = 1 / \dim V_i\)．因此 \(\iota_i\) 是单射，且每个 \(\iota_i\) 的像之间两两正交．

• 最后验证 \(\iota_i \circ \pi_i = \operatorname{id}_{\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)}\) 结束讨论．【TODO】

3 推论

来看上述分解导致的事实．

3.1 维数平方和

首先，如果你选择的证明路线没有循环论证之嫌，可以通过维数再次看出维数平方和公式 \[ |G| = \sum_i (\dim V_i)^2 \]

3.2 共轭类计数

其次，对这分解取中心： \[ Z(\mathbb C[G]) \cong \bigoplus_i Z(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)) \]

• \(Z(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i))\) 是 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 的中心，而（根据满射性）所有 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 都可实现为 \(V_i\) 上的 \(G\)-左作用，因此这中心恰为 \(\operatorname{End}_{\mathbb C[G]}(V_i)\)．回忆 Schur 引理，\(V_i\) 是不可约表示，所以 \(Z(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)) = \operatorname{End}_{\mathbb C[G]}(V_i) = \mathbb C \operatorname{id}_{V_i}\)，维数为 \(1\)．

• \(Z(\mathbb C[G])\) 是什么？

  设 \(\sum_{h \in G} \chi(h) h \in Z(\mathbb C[G])\)，这即是要求对任意 \(g \in G\)，有 \[ \sum_{h \in G} \chi(h) h = g \left( \sum_{h \in G} \chi(h) h \right) g^{-1} = \sum_{h \in G} \chi(h) g h g^{-1} = \sum_{h \in G} \chi(g^{-1} h g) h \] 即 \(\chi(g^{-1} h g) = \chi(h)\)——在共轭类上取常值——\(Z(\mathbb C[G])\) 就是类函数全体！其维数等于 \(G\) 的共轭类的数量．

两条连起来看：\(G\) 的共轭类的数量等于 \(G\) 的不可约表示的数量．

提示Remark (左模观点)

注记 (左模观点). 回忆 \(\mathbb C[G]\) 也作为 \(G \times G\)-群表示分解．让我们使用对角映射 \(g \mapsto (g,g)\) 将 Peter–Weyl 分解 \[ \mathbb C[G] \cong \bigoplus_i \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i) \] 看成 \(G\)-表示的分解，于是 \(\mathbb C[G]\) 上的 \(G\)-作用是共轭 \(g \cdot x := g x g^{-1}\)，\(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i)\) 上的 \(G\)-作用也是共轭 \((g \cdot \varphi) (v) := g \cdot \varphi (g^{-1} \cdot v)\)．两边同时取 \(G\)-不变子空间，得到 \[ \left(\mathbb C[G] \right)^G \cong \bigoplus_i \operatorname{End}_{G}(V_i) \] 左边作为线性空间同构于 \(G\) 的类函数空间，右边又使用 Schur 引理，我们再次得到共轭类计数的结论．

3.3 交换群、循环群、DFT

如果 \(G\) 是交换群，则每个不可约表示 \(V_i\) 都是 \(1\) 维．因此在 \(\mathbb C\)-代数同构意义下有 \[ \mathbb C[G] \cong \bigoplus_i \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i) \cong \mathbb C^{\oplus |G|} \cong L^2(G) \] 来考察这个同构具体是什么．每个 \(\pi_i : \mathbb C[G] \to \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i) \cong \mathbb C\) 即为 \(V_i\) 对应的特征标 \(\chi_i : G \to \mathbb C\) 线性张成的结果．

考虑到有限交换群基本定理，不妨来考虑最简单的循环群 \(G = \mathbb Z / n \mathbb Z\)．其第 \(k\) 个不可约表示，或特征标由 \(1 \mapsto \zeta_n^k\) 给出，这里 \(\zeta_n = e^{2\pi i / n}\) 是 \(n\)-次单位根．则上述同构是在说 DFT 矩阵 \((\zeta_n^{jk})_{0 \leq j,k < n}\) 可逆——当然可逆，而且是正交的．这是所谓的离散 Fourier 变换．

3.4 直和分解的典范投影

对任意 \(G\)-表示 \(V\)，大力自然同构 \[ \begin{aligned} V &\cong \mathbb C[G] \otimes_{\mathbb C[G]} V \\ &\cong \bigoplus_i \operatorname{End}(V_i) \otimes_{\mathbb C[G]} V \\ &\cong \bigoplus_i V_i \otimes_{\mathbb C} V_i^* \otimes_{\mathbb C[G]} V \\ &\cong \bigoplus_i V_i \otimes_{\mathbb C} \operatorname{Hom}_G(V_i, V) \end{aligned} \] 注意 \(\dim \operatorname{Hom}_G(V_i, V)\) 就是 \(V_i\) 在 \(V\) 中的重数，因此 \(V_i \otimes_{\mathbb C} \operatorname{Hom}_G(V_i, V)\) 就是 \(V\) 的各不可约成分，上述同构给出了 \(V\) 的不可约成分的自然拆解——不同于证明半单性时对补空间的依赖，由于之前在 Peter–Weyl 的证明中给出了完全构造性的同构，这里的拆解也是完全构造性的，可以直接写出典范嵌入 \[ \begin{aligned} \iota_i: V_i \otimes_{\mathbb C} \operatorname{Hom}_G(V_i, V) &\to V \\ v \otimes \varphi &\mapsto \varphi(v) \end{aligned} \] 和典范投影 \[ \begin{aligned} \pi_i : V \to \bigoplus_i V_i \otimes_{\mathbb C} \operatorname{Hom}_G(V_i, V) \\ \iota_i \circ \pi_i = \frac{\dim V_i}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\chi_{V_i}(g)} \rho_V(g) \end{aligned} \]

参考文献

[1]

W. Fulton 和 J. Harris, Representation Theory, 卷 129. 收入 Graduate Texts in Mathematics, vol. 129. New York, NY: Springer, 2004. doi: 10.1007/978-1-4612-0979-9.