有限群表示论：Peter–Weyl 定理

1 从左模到代数

有限群表示论的一个经典结果是正则表示的分解： \[ \mathbb C[G] \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus \dim V_i} \] 这里 \(\mathbb C[G]\) 是群 \(G\) 的群代数，\(V_i\) 是 \(G\) 的全体不可约表示．这只是个左 \(\mathbb C[G]\)-模的分解：\(\mathbb C[G]\) 被分解成了其单左理想的直和．但是 \(\mathbb C[G]\) 是个环，完整来说我们应该研究其作为 \(\mathbb C\)-代数的分解．Peter–Weyl / Wedderburn–Artin 定理给出了它的分解： \[ \mathbb C[G] \cong \bigoplus_i \operatorname{End}(V_i) \cong \bigoplus_i V_i \otimes V_i^* \] 可见其结构确实变得更加丰富．稍做辨析：

• 这里每份投影 \(\pi_i: \mathbb C[G] \to \operatorname{End}(V_i)\) 都是表示 \(\rho_{V_i} : G \to \operatorname{GL}(V_i)\) 直接线性扩张得到——定理表明，\(\mathbb C[G]\) 可以完全由其每个不可约表示上的作用描述．

• 容易验证每个 \(\pi_i\) 都是 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\)-代数同态——保加法，保乘法，保数乘，保左、右 \(G\)-作用．这里的分解是在此意义下的同构．

• \(V_i\) 是 \(G\) 的不可约表示，配备左 \(\mathbb C[G]\)-模结构．

• \(V_i^*\) 是 \(V_i\) 的对偶空间，配备右 \(\mathbb C[G]\)-模结构 \((f \cdot g)(v) := f(g \cdot v)\)．

提示Remark

注记. 在经典的有限群表示论中，那时我们希望 \(V_i^*\) 是左 \(\mathbb C[G]\)-模，所以当时配备的是 \((f \cdot g)(v) := f(g^{-1} \cdot v)\)，与这里的情况并不矛盾．

• \(V_i \otimes V_i^*\) 通过 \((\mathbb C[G], \mathbb C)\)-双模和 \((\mathbb C, \mathbb C[G])\)-双模的张量积获得一个 \((\mathbb C[G],\mathbb C[G])\)-双模结构： \[ g \cdot (v \otimes f) \cdot h := (g \cdot v) \otimes (f \cdot h) \] 其内部乘法是缩并运算．这使得其成为一个 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\)-代数．

• 对左 \(\mathbb C[G]\)-模 \(U\), \(W\)，为了使自然同构 \(W \otimes U^* \cong \operatorname{Hom}(U,W)\) 成立，为 \(\operatorname{Hom}(U,W)\) 配备 \((\mathbb C[G],\mathbb C[G])\)-双模结构 \[ (g \cdot \varphi \cdot h)(u) := g \cdot \varphi(h \cdot u) \] 特别地，在 \(\operatorname{End}(V_i) = \operatorname{Hom}(V_i, V_i)\) 定义内部乘法是函数复合，则 \(\operatorname{End}(V_i)\) 也获得 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\)-代数结构．

提示Remark

注记. 平时仅考虑左模结构时，为使记号对齐，通常喜欢写 \(\operatorname{Hom}(V,W) \cong V^* \otimes W\)——这无伤大雅，反正 \(V^*\) 强行通过 \(g^{-1}\) 获得了左 \(\mathbb C[G]\)-模结构．但对双模的情况，左 \(\mathbb C[G]\)-作用是由 \(W\) 负责，右 \(\mathbb C[G]\)-作用是由 \(V^*\) 负责，我们就最好不要交换它们了．

• 不会因为仅将此分解视为环的分解受到任何处分——通过表示诱导的映射表示诱导的 \(\pi_i : \mathbb C[G] \to \operatorname{End}(V_i)\) 足以将 \(\operatorname{End}(V_i)\) 上的乘法结构拉回得到其 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\)-双模结构．

• 反过来，仅考虑 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\)-双模结构也没有问题：将会证明 \(\pi_i\) 是满射，即每个 \(\operatorname{End}(V_i)\) 都是可以写作某一 \(\mathbb C[G]\)-左作用．

2 证明

我们提供几条依赖不同工具的证明路线，读者可按前置情况任选．

• 有关有限群表示论的基础内容可参见有限群表示论速通．

先证 \(\pi\) 是单射：

• 这里的证明依赖有限群表示论的 Maschke 定理（半单性）．

  若一 \(\mathbb C[G]\) 元素在每个不可约表示上作用均为 \(0\)，由半单性，\(\mathbb C[G]\) 自己分解成若干不可约表示的直和，所以该元素在 \(\mathbb C[G]\) 上作用也为 \(0\)．\(\mathbb C[G]\) 在自己上作用当然是忠实的，所以该元素只能是 \(0\)．

则只需证 \(\pi\) 是满射．这里有多种可供选择的路线：

• 依赖有限群表示论的维数平方和公式 \(\sum_i (\dim V_i)^2 = |G|\)：

  \(\dim \operatorname{End}(V_i) = (\dim V_i)^2\)，\(\dim \mathbb C[G] = |G|\) 维数逼迫单射 \(\pi\) 也是满射．

• 依赖 矩阵代数的 Burnside 定理，该定理的证明可以仅依赖初等线性代数：

  考察 \(\pi_i(\mathbb C[G]) \subseteq \operatorname{End}(V_i)\)，注意到它是 \(\operatorname{End}(V_i)\) 的不可约含幺子结合代数．根据 Burnside 定理，\(\pi(\mathbb C[G])\) 在每个 \(\operatorname{End}(V_i)\) 上都必须是全体．

提示Remark

注记. 依赖 Burnside 定理的满射性证明甚至不需要 \(G\) 是有限群，

我们还可以显式构造 \(\pi\) 的逆 \(\iota\) 来获得一个构造性的证明：

• 先来构造 \((\mathbb C[G], \mathbb C[G])\) 双模同态 \(\iota_i: \operatorname{End}(V_i) \to \mathbb C[G]\)： \[ \varphi \mapsto \sum_{g \in G} \operatorname{tr}(\varphi \circ \rho_{V_i}(g^{-1})) e_g \] 验证 \(\iota_i\) 是双模同态：[TODO]

3 推论

来看上述分解导致的事实．首先，如果你选择的证明路线没有循环论证之嫌，可以通过维数再次看出维数平方和公式 \[ |G| = \sum_i (\dim V_i)^2 \]

其次，对这分解取中心： \[ Z(\mathbb C[G]) \cong \bigoplus_i Z(\operatorname{End}(V_i)) \]

• \(Z(\operatorname{End}(V_i))\) 是 \(\operatorname{End}(V_i)\) 的中心，既是 \(V_i\) 上左 \(\mathbb C[G]\)-自同态的全体 \(\operatorname{End}_{\mathbb C[G]}(V_i)\)．回忆 Schur 引理，\(V_i\) 是不可约表示，所以 \(Z(\operatorname{End}(V_i)) = \operatorname{End}_{\mathbb C[G]}(V_i) = \mathbb C \operatorname{id}_{V_i}\)，维数为 \(1\)．

• \(Z(\mathbb C[G])\) 是什么？

  设 \(\sum_{h \in G} \chi(h) e_h \in Z(\mathbb C[G])\)，这即是要求对任意 \(g \in G\)，有 \[ (\sum_{h \in G} \chi(h) e_h) = e_g (\sum_{h \in G} \chi(h) e_h) e_g^{-1} = \sum_{h \in G} \chi(h) e_{g h g^{-1}} = \sum_{h \in G} \chi(g^{-1} h g) e_h \] 即 \(\chi(g^{-1} h g) = \chi(h)\)——在共轭类上取常值——\(Z(\mathbb C[G])\) 就是类函数全体！其维数等于 \(G\) 的共轭类的数量．

两条连起来看立得：\(G\) 的共轭类的数量等于 \(G\) 的不可约表示的数量．

4 证明（废液缸）

以后我们都把 \(\mathbb C[G]\) 看成是 \(G \to \mathbb C\) 的全体函数．先来构造 \(V_i \otimes V_i^*\) 到 \(\mathbb C[G]\) 的 \(G\)-双模同态 \(\Phi_i\)： \[ \begin{aligned} V_i \otimes V_i^* &\to \mathbb C[G] \\ v \otimes f &\mapsto \left( g \mapsto f(g^{-1} \cdot v) \right) \end{aligned} \] 或者等价地： \[ \begin{aligned} \operatorname{End}(V_i) &\to \mathbb C[G] \\ \varphi &\mapsto \left( g \mapsto \operatorname{tr}(\varphi \circ \rho_{V_i} (g^{-1})) \right) \end{aligned} \]

提示Remark

注记. 这里两种定义的等价性：\(V\) 上线性变换的 \(\operatorname{tr}\) 在张量风格的记号下就是 \(V\) 和 \(V^*\) 张量缩并 \[ \begin{aligned} \operatorname{tr}: V \otimes V^* &\to \mathbb C \\ v \otimes f &\mapsto f(v) \end{aligned} \]

先来验证它是 \(G\)-双模同态：

注记Proof

证明. 张量风格的记号好处理一点．验证它是 \(G\)-双模同态： \[ \begin{aligned} \Phi_i \left( g \cdot (v \otimes f) \cdot h \right) &= \Phi_i \left( (g \cdot v) \otimes (f \cdot h) \right) \\ &= \left( x \mapsto (f \cdot h)(x^{-1} g \cdot v) \right) \\ &= \left( x \mapsto f(h x^{-1} g \cdot v) \right) \quad \text{因为 } (f \cdot h)(u) = f(h \cdot u) \\ &= \left( x \mapsto f((g^{-1} x h^{-1})^{-1} \cdot v) \right) \\ &= g \cdot (x \mapsto f(x^{-1} \cdot v)) \cdot h \\ &= g \cdot \Phi_i(v \otimes f) \cdot h \end{aligned} \]

另外，如果你想用 \(\operatorname{tr}\) 风格的记号证明，可能需要知道 \(\operatorname{tr}\) 的循环不变性 才能做．

反向地，我们构造 \(\mathbb C[G]\) 到每个 \(\operatorname{End}(V_i)\) 的 \(G\)-双模同态 \(\Psi_i\)： \[ \Psi_i(e_g) := \rho_{V_i}(g) \] 那 \(\Psi_i\) 就已经是 \(G\)-双模同态了．这里按函数风格写一下定义： \[ \Psi_i(\chi) := \sum_{g \in G} \chi(g) \rho_{V_i}(g) \]

验证 \(\Psi_i \circ \Phi_i = c \cdot \operatorname{id}_{\operatorname{End}(V_i)}\)：

注记Proof

证明. 这个恒等式可以通过 Schur 正交关系来证。任取 \(\varphi \in \operatorname{End}(V_i)\)，计算复合作用： \[ \begin{aligned} (\Psi_i \circ \Phi_i)(\varphi) &= \Psi_i\left(g \mapsto \operatorname{tr}(\varphi \circ \rho_{V_i}(g^{-1}))\right) \\ &= \sum_{g \in G} \operatorname{tr}(\varphi \circ \rho_{V_i}(g^{-1})) \rho_{V_i}(g) \end{aligned} \] 任取 \(u \in V_i\) 以及 \(f \in V_i^*\)，我们将上式作用在 \(u\) 上并在外面作用 \(f\)： \[ \begin{aligned} f\left( (\Psi_i \circ \Phi_i)(\varphi)(u) \right) &= \sum_{g \in G} \operatorname{tr}(\varphi \circ \rho_{V_i}(g^{-1})) f(\rho_{V_i}(g) u) \\ &= \sum_{g \in G} \operatorname{tr}(\varphi \circ \rho_{V_i}(g^{-1})) \operatorname{tr}\left( (u \otimes f) \circ \rho_{V_i}(g) \right) \end{aligned} \] 由 Schur 正交关系（对于 \(\operatorname{End}(V_i)\) 上的迹内积），我们知道对任意自同态 \(A, B\)，有 \(\sum_{g \in G} \operatorname{tr}(A \rho_{V_i}(g^{-1})) \operatorname{tr}(B \rho_{V_i}(g)) = \frac{|G|}{\dim V_i} \operatorname{tr}(A B)\)。

提示Remark

注记. 取 \(V_i\) 的一组基将算子写成矩阵。根据经典形式的矩阵元 Schur 正交关系： \[ \sum_{g \in G} \rho_{V_i}(g)_{ij} \rho_{V_i}(g^{-1})_{kl} = \frac{|G|}{\dim V_i} \delta_{il} \delta_{jk} \] 将左侧的两个迹展开化简即可： \[ \begin{aligned} \sum_{g \in G} \operatorname{tr}(A \rho_{V_i}(g^{-1})) \operatorname{tr}(B \rho_{V_i}(g)) &= \sum_{g \in G} \left( \sum_{k,l} A_{lk} \rho_{V_i}(g^{-1})_{kl} \right) \left( \sum_{i,j} B_{ji} \rho_{V_i}(g)_{ij} \right) \\ &= \sum_{i,j,k,l} A_{lk} B_{ji} \sum_{g \in G} \rho_{V_i}(g)_{ij} \rho_{V_i}(g^{-1})_{kl} \\ &= \sum_{i,j,k,l} A_{lk} B_{ji} \frac{|G|}{\dim V_i} \delta_{il} \delta_{jk} \\ &= \frac{|G|}{\dim V_i} \sum_{i,j} A_{ij} B_{ji} \\ &= \frac{|G|}{\dim V_i} \operatorname{tr}(AB) \end{aligned} \]

将 \(A = \varphi\)，\(B = u \otimes f\) 代入该式，得到： \[ \begin{aligned} f\left( (\Psi_i \circ \Phi_i)(\varphi)(u) \right) &= \frac{|G|}{\dim V_i} \operatorname{tr}(\varphi \circ (u \otimes f)) \\ &= \frac{|G|}{\dim V_i} f(\varphi(u)) \end{aligned} \] 因为对所有 \(f\) 和 \(u\) 成立，故有 \[ (\Psi_i \circ \Phi_i)(\varphi) = \frac{|G|}{\dim V_i} \varphi \] 即 \(\Psi_i \circ \Phi_i = \frac{|G|}{\dim V_i} \operatorname{id}_{\operatorname{End}(V_i)}\)。的确只是差一个常数 \(\frac{|G|}{\dim V_i}\)。