作用群的选择
幂零锥和其上的几何：以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例
上篇 中简单介绍了复数域上 \(\mathfrak{gl}_n\) 或 \(\mathfrak{sl}_n\) 的共轭 / 幂零轨道的定义．这是 ad hoc 的．一般来说，不同的群作用在李代数 \(\mathfrak{g}\) 上可能导致不同的轨道．本篇介绍我们选择作用群的标准，主要参考 [1, section 1.2]．
仍然以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例．一般来说，我们可以考虑全体 \(\mathfrak{gl}_n\) 的李代数同构 \(\operatorname{Aut}_{\mathfrak{gl}_n}(\mathfrak{gl}_n)\) 在 \(\mathfrak{gl}_n\) 上的作用．这是个代数群，其上的几何结构由如下一般的步骤得到：
设 \(\mathfrak g\) 是一个 \(n\) 维李代数，则选取一组基底 \((e_i)_{i=1}^n\) 可获得 \(n\) 维仿射空间结构
全体其上的线性变换 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathfrak g)\) 是 \(n^2\) 维的仿射空间，基底 \((E_{i,j})_{i=1,j=1}^{n,n}\) 由 \(\mathfrak g\) 的基底诱导得到
在 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathfrak g)\) 上做线性同构限制，即要求行列式非零，得到开子簇 \(\operatorname{Aut}_{\mathbb C}(\mathfrak g)\)．注意这个动作也可以实现为仿射簇．
在 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathfrak g)\) 上做李代数同态限制得到 \(\operatorname{End}_{\mathfrak g}(\mathfrak g)\)，即要求 \[ \varphi ([x, y]) = [\varphi(x), \varphi(y)], \quad \forall x, y \in \mathfrak g \] 此式关于 \(\mathfrak g\) 和 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathfrak g)\) 的基底线性展开后是若干关于 \(\varphi\) 在基底 \((E_{i,j})\) 下线性组合系数的多项式方程．因此 \(\operatorname{End}_{\mathfrak g}(\mathfrak g)\) 是 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathfrak g)\) 的闭子集．【TODO：簇？】
取 \(\operatorname{Aut}_{\mathfrak g}(\mathfrak g) := \operatorname{End}_{\mathfrak g}(\mathfrak g) \cap \operatorname{Aut}_{\mathbb C}(\mathfrak g)\)，这是 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathfrak g)\) 的拟仿射子【TODO】
注记. TODO：看上去这个过程对一般的 \(\mathfrak g\)-模也可以做．特别地，上面相当于是在对伴随表示 \(\operatorname{ad}_{\mathfrak g}\) 做．
——这是一个相当大的群，共轭作用 \[ \operatorname{Ad}(\mathrm{GL}_n) := \{X \mapsto A X A^{-1} : A \in \mathrm{GL}_n\} \subseteq \operatorname{Aut}(\mathfrak{gl}_n) \] 只是其中的一小部分．
这是因为任意 \(A \in \mathrm{GL}_n\) 的共轭作用 \(X \mapsto A X A^{-1}\) 都等价于 \((\det A)^{1/n} \in \mathrm{SL}_n\) 的共轭作用，而中心在共轭作用下不起作用．
注记. 可以看到这开始和基域的选择有关．考虑群正合列： \[ 1 \longrightarrow \mathrm{SL}_n \longrightarrow \mathrm{GL}_n \xrightarrow{\det} \mathbb C^\times \longrightarrow 1 \] 右分裂同态 \(c \mapsto (\det c)^{1/n}\) 使得其右侧分裂，从而 \(\mathrm{GL}_n = \mathrm{SL}_n \rtimes Z(\mathrm{GL}_n) \cong \mathrm{SL}_n \rtimes \mathbb C^\times\)．但这是复数域能够开根的结果．
TODO: 这也许和所谓的 split reductive group 有关．
因此在 \(\mathfrak{gl}_n\) 上，\(\mathrm{GL}_n\), \(\mathrm{SL}_n\), \(\mathrm{PSL}_n\) 的选择是等价的．这三个群作用都是直接由共轭作用诱导的．可以认为 \(\mathrm{PSL}_n \subseteq \operatorname{Aut}(\mathfrak{gl}_n)\)．