一般来说，不同的群作用在李代数 \(\mathfrak{g}\) 上可能导致不同的轨道．本篇介绍我们选择作用群的一般标准，主要参考 [1, section 1.2]．
现在对一般的李代数 \(\mathfrak g\) 明确共轭作用群 \(G_{\operatorname{ad}}\) 的定义．
定理 1 李代数 \(\mathfrak g\) 的共轭作用群有如下多种定义：
代数群 \(\mathrm{GL}(\mathfrak g)\) 单位元所在的连通子群 \(\mathrm{GL}(\mathfrak g)^\circ\)．
- 它的李代数恰为 \(\mathfrak g\) 的伴随作用们 \(\operatorname{ad}_{\mathfrak g} \subseteq \mathfrak{gl}(\mathfrak g)\)．
如果 \(\mathfrak g\) 半单：\(\operatorname{Aut}(\mathfrak g)^{\circ}\)
- \(\operatorname{Aut}(\mathfrak g) = \operatorname{Aut}(\mathfrak g)^{\circ} \rtimes \Gamma(\mathfrak g)\)，这里 \(\Gamma(\mathfrak g)\) 是一个有限子群．
如果有一连通半单代数群 \(G\) 使得其李代数 \(\operatorname{Lie}G\) 恰为 \(\mathfrak g\)：对每个 \(G \to G\) 的内自同构取微分得到 \(\mathfrak g \to \mathfrak g\) 的李代数自同构，据此定义出群同态 \(\operatorname{Ad}: G \to \operatorname{Aut}(\mathfrak g)\)．用此同态的像 \(\operatorname{Ad}G\) 作为共轭作用群的定义．
参考文献
[1]
W. M. McGovern,
Nilpotent Orbits In Semisimple Lie Algebra: An Introduction. New York: Routledge, 1993. doi:
10.1201/9780203745809.