草稿

作用群的选择

幂零锥和其上的几何：以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例

math
algebra
lie
作者

sun123zxy

发布于

2026年3月30日

一般来说，不同的群作用在李代数 \(\mathfrak{g}\) 上可能导致不同的轨道．本篇介绍我们选择作用群的一般标准，主要参考 [1, section 1.2]．

现在对一般的李代数 \(\mathfrak g\) 明确共轭作用群 \(G_{\operatorname{ad}}\) 的定义．

定理 1 李代数 \(\mathfrak g\) 的共轭作用群有如下多种定义：

  • 代数群 \(\mathrm{GL}(\mathfrak g)\) 单位元所在的连通子群 \(\mathrm{GL}(\mathfrak g)^\circ\)．

    • 它的李代数恰为 \(\mathfrak g\) 的伴随作用们 \(\operatorname{ad}_{\mathfrak g} \subseteq \mathfrak{gl}(\mathfrak g)\)．

  • 如果 \(\mathfrak g\) 半单：\(\operatorname{Aut}(\mathfrak g)^{\circ}\)

    • \(\operatorname{Aut}(\mathfrak g) = \operatorname{Aut}(\mathfrak g)^{\circ} \rtimes \Gamma(\mathfrak g)\)，这里 \(\Gamma(\mathfrak g)\) 是一个有限子群．

  • 如果有一连通半单代数群 \(G\) 使得其李代数 \(\operatorname{Lie}G\) 恰为 \(\mathfrak g\)：对每个 \(G \to G\) 的内自同构取微分得到 \(\mathfrak g \to \mathfrak g\) 的李代数自同构，据此定义出群同态 \(\operatorname{Ad}: G \to \operatorname{Aut}(\mathfrak g)\)．用此同态的像 \(\operatorname{Ad}G\) 作为共轭作用群的定义．

1 A 型李代数

讨论幂零轨道首先需要明确作用群的选择．设 \(V\) 是 \(\mathbb C\) 上 \(n\) 维线性空间．对 \(\mathfrak{gl}(V)\) 来说自然选 \(\mathrm{GL}(V)\) 就好，但 \(\mathfrak{sl}(V)\)、\(\mathfrak{so}(V)\) 和 \(\mathfrak{sp}(V)\) 似乎都应该更加小心．例如，\(\mathfrak{sl}(V)\) 上考虑 \(\mathrm{GL}(V)\) 的子群 \(\mathrm{SL}(V)\) 的共轭作用似乎也非常合理——\(\mathfrak{sl}(V)\) 系由 \(\mathrm{SL}(V)\) 单位元处取切空间得到．更进一步地，不少线性变换产生的实际共轭效果是一致的，最有效地来说应该考虑所有可能的共轭作用构成的群——一个 \(\mathrm{GL}(V)\) 的商群．不过下面的结果告诉我们这其实都没有关系：不同作用群的选择在 \(\mathfrak{gl}(V)\) 或 \(\mathfrak{sl}(V)\) 上导致的轨道是一样的．

命题 1  

  • \(\mathrm{GL}(V)\), \(\mathrm{SL}(V)\), \(\mathrm{PSL}(V)\) 在 \(\mathfrak{gl}(V)\) 上的共轭作用导致相同的轨道．
  • \(\mathrm{PSL}(V)\) 忠实刻画了 \(\mathfrak{gl}(V)\) 的共轭作用群 \(\operatorname{Ad}\subseteq \operatorname{Aut}(\mathfrak{gl}(V))\)．

这里 \(\mathrm{SL}(V) := \{g \in \mathrm{GL}(V) : \det g = 1\}\) 是 \(\mathrm{GL}(V)\) 的子群，\(\mathrm{PSL}(V) := \mathrm{SL}(V) / Z(\mathrm{SL}(V))\) 是 \(\mathrm{SL}(V)\) 的商群，\(Z(\mathrm{SL}(V))\) 是 \(\mathrm{SL}(V)\) 的中心，\(\operatorname{Aut}(\mathfrak{gl}(V))\) 是 \(\mathfrak{gl}(V)\) 的全体李代数同构．

证明.

  • 这是因为任意 \(g \in \mathrm{GL}(V)\) 的共轭作用 \(X \mapsto g X g^{-1}\) 都等价于 \((\det g)^{-1/n} g \in \mathrm{SL}(V)\) 的共轭作用（标量因子不改变共轭效果），而中心在共轭作用下不起作用．
  • 对群同态 \(\mathrm{SL}(V) \to \operatorname{Aut}(\mathfrak{gl}(V))\) 使用第一同构定理．
提示Remark

注记. 可以看到这其实和基域的选择有关．考虑群正合列： \[ 1 \longrightarrow \mathrm{SL}(V) \longrightarrow \mathrm{GL}(V) \xrightarrow{\det} \mathbb C^\times \longrightarrow 1 \] 右分裂同态 \(c \mapsto (\det c)^{1/n}\) 使得其右侧分裂，从而 \(\mathrm{GL}(V) = \mathrm{SL}(V) \rtimes Z(\mathrm{GL}(V)) \cong \mathrm{SL}(V) \rtimes \mathbb C^\times\)．这是复数域能够开根的结果．

参考文献

[1]
W. M. McGovern, Nilpotent Orbits In Semisimple Lie Algebra: An Introduction. New York: Routledge, 1993. doi: 10.1201/9780203745809.