Schur–Weyl 对偶
- 路线主要参考 [1, section 5.18–5.19]．
1 从 Sym 和 Alt 谈起
众所周知，设 \(G\) 是群，则对任意 \(G\) 的 \(n\) 维表示 \(V\)，\(V \otimes_{\mathbb C} V\) 都可以分解为子表示 \(\operatorname{Sym}^2 V\) 和 \(\operatorname{Alt}^2 V\) 的直和，其中
\(\operatorname{Sym}^2 V\) 由 \(v \otimes w + w \otimes v\) 生成，在交换 \(V \otimes V\) 的作用下稳定，是左作用 \(G\) 的不变子空间，维数为 \({\left(\kern-.3em\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{2}\right)\kern-.3em\right)} = \frac{n(n+1)}{2}\)．
\(\operatorname{Alt}^2 V\) 由 \(v \otimes w - w \otimes v\) 生成，在交换 \(V \otimes V\) 的作用下变号，是左作用 \(G\) 的不变子空间，维数为 \(\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\)．
对一般的 \(G\)-表示 \(T^d V := V^{\otimes d}\)，也会想要获得类似的分解．当然还是先类似定义 \(G\)-子表示 \(\operatorname{Sym}^d V\) 和 \(\operatorname{Alt}^d V\)．此时考虑 \(d\) 阶置换群 \(\mathcal S_d\) 在 \(V^{\otimes d}\) 上的作用变得有益：定义 \[ \sigma \cdot (v_1 \otimes \cdots \otimes v_d) := v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma^{-1}(d)} \] 为什么是取逆？因为这是对多重张量位置的置换是右作用，必须采用对极映射强行逆回左作用．线性扩展后这将 \(V^{\otimes d}\) 做成 \(\mathbb C[\mathcal S_d]\)-左模．
于是 \(V^{\otimes d}\) 被做成 \(G \times \mathcal S_d\) 表示——显然 \(G\) 和 \(\mathcal S_d\) 的作用互相交换．而两个不变子空间的性质列表如下：
| \(\operatorname{Sym}^d V\) | \(\operatorname{Alt}^d V\) | |
|---|---|---|
| 作为像 | \(\left( \sum_{\sigma \in \mathcal S_d} \sigma \right) \cdot V^{\otimes d}\) | \(\left( \sum_{\sigma \in \mathcal S_d} \operatorname{sgn}(\sigma) \sigma \right) \cdot V^{\otimes d}\) |
| 作为核 | \(\mathcal S_d\) 作用下稳定 | \(\mathcal S_d\) 作用下按置换 \(\operatorname{sgn}\) 变号 |
| 关于左作用 \(G\) | 不变子空间 | 不变子空间 |
| 维数 | \({\left(\kern-.3em\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{d}\right)\kern-.3em\right)} = \frac{n(n+1)\cdots(n+d-1)}{d!}\) | \(\binom{n}{d} = \frac{n(n-1)\cdots(n-d+1)}{d!}\) |
这两个空间还是无交，但它们不再张成整个 \(V^{\otimes d}\) 了——对 \(d \geq 3\) 的情况 \(n^d > {\left(\kern-.3em\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{d}\right)\kern-.3em\right)} + \binom{n}{d}\)．\(V^{\otimes d}\) 中还藏有其它 \(\mathcal S_d\) 和 \(G\) 的不变子空间．
注记 (同调视角). 对有限群复表示 \(V\)，定义 \[ \begin{aligned} V^G := \{v \in V : g \cdot v = v \text{ for all } g \in G\} \\ V_G := V / \langle g \cdot v - v : g \in G, v \in V \rangle \end{aligned} \] 可以证明它们同构：考虑自然的映射 \(V^G \to V \to V_G\) 和平均化投影 \(V \to V^G\) 下降到 \(V_G\) 上的映射 \(V_G \to V^G\)，容易证明它们互为逆映射．取 \(V = V^{\otimes d}\)，\(G = \mathcal S_d\) 就是这里讨论的 \(\operatorname{Sym}^d V\)．
2 Schur–Weyl 分解
Schur–Weyl 分解对此给出了一个非常漂亮的答案：作为 \(G \times \mathcal S_d\)-表示， \[ V^{\otimes d} \cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_{\mathbb C} \mathbb S_\lambda V \] 这里
- \(\lambda \vdash d\) 取遍所有 \(d\) 的分拆，但分拆长度超过 \(n\) 时是退化情况
- \(V_\lambda := \mathbb C[\mathcal S_d] c_\lambda\) 是通常的 \(\mathcal S_d\) 的不可约表示，再补充上 \(G\) 的平凡作用后升级为 \(G \times \mathcal S_d\) 的表示
- \(\mathbb S_\lambda V := c_\lambda \cdot V^{\otimes d}\) 是 \(G\) 的表示（\(G\)-不变性是因为 \(G\) 与 \(\mathcal S_d\) 作用交换），再补充上 \(\mathcal S_d\) 的平凡作用后升级为 \(G\times \mathcal S_d\) 的表示
- \(\otimes_{\mathbb C}\) 是 \(G \times \mathcal S_d\)-表示的张量积
注记 (Abuse of Notation). \(V_\lambda\) 的记号里虽然有 \(V\)，其实和 \(V\) 没有联系．要怪就怪 [2, Chapter 6] 是这么写的吧．
注记 (Sym and Alt). 注意在此记号下，\(\operatorname{Sym}^d V\) 和 \(\operatorname{Alt}^d V\) 恰好分别是 \(\lambda = (d)\) 和 \(\lambda = (1, \dots, 1)\) 的 \(\mathbb S_\lambda V\)．
注记 (下标取值范围). 不会因为认为 \(\lambda \vdash n\) 受到任何处分——我们去掉 \(\lambda\) 的长度超过 \(n\) 的部分只是因为此时 \(\mathbb S_\lambda V = V^{\otimes d} \cdot b_\lambda a_\lambda\) 退化为 \(0\)．
退化在 \(\operatorname{Alt}^d V\) 上其实已经初见端倪：当 \(d > n\) 时，\(\operatorname{Alt}^d V\) 退化为 \(0\)，这是因为 \(V\) 中基底数量不足以让楔积的各位置线性无关．同样的事情发生在 \(\mathbb S_\lambda V\) 上：当 \(\lambda\) 的长度超过 \(n\) 时，\(\mathbb S_\lambda V\) 退化为 \(0\)．这是因为 \(b_\lambda\) 交错化使得 \(\lambda\) 第一列对应的张量位置一旦线性相关就退化为 \(0\)，而 \(\lambda\) 的第一列长度大于 \(n = \dim V\) 使得这一情况必然发生．
注记 (Schur Functor). \(\mathbb S_\lambda\) 其实是个函子：定义 \(\mathbb S_\lambda\) 在线性映射 \(f: V \to W\) 上的作用 \(\mathbb S_\lambda f\) 为 \(f^{\otimes d} : V^{\otimes d} \to W^{\otimes d}\) 限制到 \(\mathbb S_\lambda V \to \mathbb S_\lambda W\) 上．容易验证 \(\mathbb S_\lambda W\) 一侧是良定的．
注记 (我更喜欢 \(\mathcal S_d\) 右作用). You are absolutely right to question that! 本来 \(V^{\otimes d}\) 上的自然的 \(\mathcal S_d\) 作用就应该右边．那能不能考虑把 \(V^{\otimes d}\) 做成 \((G, \mathcal S_d)\)-双边表示分解？答案是能，分解会变成 \[ V^{\otimes d} \cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} \operatorname{Hom}_{\mathbb C}(V_\lambda, V^{\otimes d} \cdot c_\lambda) \] 这里 \(\operatorname{Hom}_{\mathbb C}\) 上的左作用是 \(V^{\otimes d} \cdot c_\lambda\) 上的 \(G\)-左作用，右作用是 \(V_\lambda\) 的 \(\mathcal S_d\)-左作用．
需要注意的是在 \(\mathcal S_d\)-右作用风格表述，之前定义的 \(\mathbb S_\lambda V\) 写作 \[ \mathbb S_\lambda V = a_\lambda b_\lambda \cdot V^{\otimes d} = \left( \sum_{\sigma} \sum_{\tau} \operatorname{sgn}(\tau) \sigma \tau \right) \cdot V^{\otimes d} = V^{\otimes d} \cdot \left( \sum_{\sigma} \sum_{\tau} \operatorname{sgn}(\tau) \tau^{-1} \sigma^{-1} \right) = V^{\otimes d} \cdot b_\lambda a_\lambda \] 可以看到和双边版本这里的 \(V^{\otimes d} \cdot c_\lambda\) 微妙地掉了个转．好消息是因为 Young 对称化子的幂等性 \[ V^{\otimes d} \cdot a_\lambda b_\lambda \xrightarrow{- \cdot a_\lambda} V^{\otimes d} \cdot b_\lambda a_\lambda \xrightarrow{- \cdot b_\lambda} V^{\otimes d} \cdot a_\lambda b_\lambda \] 故这两个 \(G\)-模是同构的，不小心混用了也问题不大．
现在来给出证明．利用 \(\mathbb C[\mathcal S_d]\) 的 Peter–Weyl 定理 \[ \mathbb C[\mathcal S_d] \cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_\mathbb C V_\lambda^* \] 可以借助已经清楚的 \(\mathcal S_d\)-表示论将 \(V^{\otimes d}\) 分解成 \(\mathcal S_d\)-不可约成分 \[ \begin{aligned} V^{\otimes d} &\cong \mathbb C[\mathcal S_d] \otimes_{\mathbb C[\mathcal S_d]} V^{\otimes d} \\ &\cong \left( \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_\mathbb C V_\lambda^* \right) \otimes_{\mathbb C[\mathcal S_d]} V^{\otimes d} \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_\mathbb C \left( V_\lambda^* \otimes_{\mathbb C[\mathcal S_d]} V^{\otimes d} \right) \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_\mathbb C \operatorname{Hom}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V_\lambda, V^{\otimes d}) \\ &= \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_\mathbb C \operatorname{Hom}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(\mathbb C[\mathcal S_d] c_\lambda, V^{\otimes d}) \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_\mathbb C \left( c_\lambda \cdot V^{\otimes d} \right) \\ &= \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_\mathbb C \mathbb S_\lambda V \end{aligned} \] 这就是 Schur–Weyl 分解．注意
\(G\)-表示同构 \(\operatorname{Hom}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V_\lambda, V^{\otimes d}) \cong c_\lambda \cdot V^{\otimes d}\) 使用了 \(Z_R(e)\)-同构 \(e M \cong \operatorname{Hom}_R(Re, M)\)，参见对称群表示论部分．
线性空间同构 \(V_\lambda^* \otimes_{\mathbb C[\mathcal S_d]} V^{\otimes d} \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V_\lambda, V^{\otimes d})\) 使用了线性空间同构 \(\operatorname{Hom}_G(V, W) \cong V^* \otimes_G W\)，参见有限群表示论部分．
注记 (双边版本的 Schur–Weyl 对偶证明). 用双边版本的 Peter–Weyl 定理张量积在 \(V^{\otimes d}\) 右侧： \[ \begin{aligned} V^{\otimes d} &\cong V^{\otimes d} \otimes_{\mathbb C[\mathcal S_d]} \mathbb C[\mathcal S_d] \\ &\cong V^{\otimes d} \otimes_{\mathbb C[\mathcal S_d]} \left( \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_\mathbb C V_\lambda^* \right) \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} V^{\otimes d} \otimes_{\mathbb C[\mathcal S_d]} V_\lambda \otimes_\mathbb C V_\lambda^* \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} V^{\otimes d} \otimes_{\mathbb C[\mathcal S_d]} \mathbb C[\mathcal S_d] c_\lambda \otimes_\mathbb C V_\lambda^* \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} \left( V^{\otimes d} \cdot c_\lambda \right) \otimes_\mathbb C V_\lambda^* \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} \operatorname{Hom}_\mathbb C(V_\lambda, V^{\otimes d} \cdot c_\lambda) \end{aligned} \]
3 Schur–Weyl 对偶
3.1 对偶何在？
至此 Schur–Weyl 分解的工作已经完成——其实根本没有用到 \(G\) 的任何性质．对偶何在？现在这个分解可一点都不对偶：\(V_\lambda\) 是全体 \(\mathcal S_d\) 的不可约表示，但对 \(G\)-表示 \(\mathbb S_\lambda V\) 我们一无所知．
事实上，对偶仅在取特殊的群或代数时体现．
先再将这里的讨论推进一步，没有使用 \(G\) 的性质意味着，对任何左作用在 \(V^{\otimes d}\) 上的结合代数 \(A\)，只要它与 \(\mathcal S_d\) 在 \(V^{\otimes d}\) 上的作用交换，上述分解同样提供了 \(A \otimes_{\mathbb C} \mathbb C[\mathcal S_d]\)-左模意义下的分解．特别地，\(A\) 可以是：
群 \(G\) 左作用在 \(V\) 上，这里代数取群代数 \(\mathbb C[G]\)．\(G\) 在 \(V^{\otimes d}\) 上的作用由如下对角映射给出： \[ \begin{aligned} \Delta_{\operatorname{GL}}^d : G &\to \operatorname{End}_{\mathbb C}(V^{\otimes d}) \\ g &\mapsto \rho_{V}(g) \otimes \dots \otimes \rho_{V}(g) \end{aligned} \] Schur–Weyl 分解在 \(G \times \mathcal S_d\)-表示意义下成立．
李代数 \(\mathfrak{g}\) 左作用在 \(V\) 上，这里代数取李代数的泛包络代数 \(U(\mathfrak{g})\)．\(\mathfrak{g}\) 在 \(V^{\otimes d}\) 上的作用由如下对角映射给出： \[ \begin{aligned} \Delta_{\mathfrak{gl}}^d : \mathfrak{g} &\to \operatorname{End}_{\mathbb C}(V^{\otimes d}) \\ x &\mapsto \rho_V(x) \otimes \operatorname{id}_V \otimes \dots \otimes \operatorname{id}_V + \dots + \operatorname{id}_V \otimes \operatorname{id}_V \otimes \dots \otimes \rho_V(x) \end{aligned} \] Schur–Weyl 分解在 \(U(\mathfrak{g}) \otimes \mathbb C[\mathcal S_d]\)-模意义下成立．
我们尤其关注一般线性群 \(\operatorname{GL}(V)\) 和一般线性李代数 \(\mathfrak{gl}(V)\) 作用在 \(V\) 上的情形．这两个情形将反映出 \(\operatorname{GL}(V)\) 和 \(\mathcal S_d\) 不可约（代数）表示间的对偶关系——真正使得 Schur–Weyl 对偶的“对偶”二字名副其实．
3.2 双交换化结构
如上所述，我们关心任何作用在 \(V^{\otimes d}\) 上与 \(\mathbb C[\mathcal S_d]\) 作用交换的结合代数 \(A\)——即要求 \(A\) 在 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V^{\otimes d})\) 的像落在 \(\operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V^{\otimes d})\) 中．
不妨先看看 \(\operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V^{\otimes d})\) 是什么——我们还真能处理它：刚刚已经对 \(V^{\otimes d}\) 做好了 \(\mathcal S_d\)-不可约成分的分解，立刻大力 Schur 引理拆掉这个 \(\operatorname{End}\)： \[ \begin{aligned} \operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V^{\otimes d}) &\cong \operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]} \left( \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_{\mathbb C} \mathbb S_\lambda V \right) \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} \operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V_\lambda \otimes_{\mathbb C} \mathbb S_\lambda V) & \text{by Schur's lemma} \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} (\mathbb S_\lambda V)^* \otimes_{\mathbb C} V_\lambda^* \otimes_{\mathbb C[\mathcal S_d]} V_\lambda \otimes \mathbb S_\lambda V \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} (\mathbb S_\lambda V)^* \otimes_{\mathbb C} \operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V_\lambda) \otimes \mathbb S_\lambda V \\ &\cong (\mathbb S_\lambda V)^* \otimes_{\mathbb C} \mathbb S_\lambda V & \text{by Schur's lemma} \\ &\cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} \operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathbb S_\lambda V) \end{aligned} \] 上述分解每一步都在 \(\mathbb C\)-代数意义下成立（中间几步中环内部的乘法是在对偶空间配对意义下定义）．竟然直接把 \(\operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V^{\otimes d})\) 分解干净了：
注记 (一点有限维半单结合代数表示论). 记 \(A = \bigoplus_{\lambda \vdash d} A_\lambda\)，这里 \(A := \operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V^{\otimes d})\)，\(A_\lambda := \operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathbb S_\lambda V)\)．
矩阵代数 \(A_\lambda\) 单：即无非平凡双边理想，使用基本矩阵转移行列论证即可．
任何 \(A\)-表示 \(V\) 半单：对 \(V\) 左侧 \(A \otimes_A -\) 后分配律变成一系列 \(A_\lambda \otimes_A V\) 的直和，这是矩阵代数 \(A_\lambda\) 的表示，由矩阵代数的表示论知道 \(A_\lambda \otimes_A V\) 是 \(A_\lambda\) 的唯一的不可约表示 \(\mathbb S_\lambda V\) 的若干份直和．再通过投影 \(A \to A_\lambda\) 将 \(\mathbb S_\lambda V\) 视为 \(A\)-模——因为满射性，\(A_\lambda\)-模的不可约性传递到 \(A\)-模上——就得到了 \(V\) 作为 \(A\)-模的半单分解．
\(A\) 的不可约表示全体恰为 \(\mathbb S_\lambda V\)：这是上一条的副产物．
因此要是取 \(A = \operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V^{\otimes d})\) 作用在 \(V^{\otimes d}\) 上，Schur–Weyl 分解 \[ V^{\otimes d} \cong \bigoplus_{\lambda \vdash d} V_\lambda \otimes_{\mathbb C} \mathbb S_\lambda V \] 就真的体现出对偶：作为 \(A \otimes \mathbb C[\mathcal S_d]\)-模分解将 \(V^{\otimes d}\) 分解成 \(A\) 的不可约表示 \(\mathbb S_\lambda V\) 和 \(\mathcal S_d\) 的不可约表示 \(V_\lambda\) 的张量积．
注记 (双交换化结构). \(A := \operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V^{\otimes d})\) 与 \(B := \text{image of } \mathbb C[\mathcal S_d] \text{ in } \operatorname{End}_{\mathbb C}(V^{\otimes d})\) 的对偶关系有如下一般的表述：
设 \(V\) 是有限维线性空间，\(B\) 是 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}{V}\) 的半单结合子代数，半单分解 \(B = \bigoplus_i \operatorname{End}(W_i)\)，其中 \(W_i\) 是 \(B\) 的全体不可约表示．记 \(A := \operatorname{End}_B V\)，则
- \(A\) 也是半单结合代数，具有分解 \(A = \bigoplus_i \operatorname{End}(V_i)\)，其中 \(U_i := \operatorname{Hom}(W_i, V)\) 是 \(A\) 的全体不可约表示；
- \(V\) 作为 \(A \otimes_{\mathbb C} B\)-模分解为 \(\bigoplus_i U_i \otimes_{\mathbb C} W_i\)，其中 \(V_i\) 是 \(A\) 的不可约表示，\(W_i\) 是 \(B\) 的不可约表示；
- \(B = \operatorname{End}_A V\)，即 \(A\) 与 \(B\) 作为 \(\operatorname{End}_{\mathbb C} V\) 的子代数互为交换子．
其中第一条和第二条使用与前面类似方法已经完成证明；第三条是 Schur–Weyl 对偶“对偶”二字的另一核心表述，对 \(\operatorname{End}_A V\) 重新用 \(V\) 的分解和 Schur 引理拆掉 \(\operatorname{End}\) 就可还原出 \(\bigoplus_i \operatorname{End}_{\mathbb C}(W_i) = B\)，请读者练习．
这是在说，对已经清楚半单分解的有限维结合代数 \(B\) 和分解情况未知的有限维结合代数 \(A\)，如果找到一模 \(V\) 使得 \(A\) 和 \(B\) 在 \(V\) 上的作用满足双交换条件（即 \(A\) 在 \(V\) 上的作用，在 \(\operatorname{End}_{\mathbb C} V\) 中的像恰为 \(\operatorname{End}_B V\)），则这像的半单分解情况可以完全由 \(B\) 的像的半单分解转移给出．
3.3 \(\mathfrak{gl}\) 与 \(\operatorname{GL}\) 的作用
刚刚做的太急，甚至没来得及考虑 \(\operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V^{\otimes d})\) 里面具体装了些什么．先做观察：
\(\operatorname{End}_{\mathbb C[\mathcal S_d]}(V^{\otimes d}) = \operatorname{Sym}^d (\operatorname{End}_{\mathbb C} V)\)
这是通过对 \[ \operatorname{End}_{\mathbb C}(V^{\otimes d}) \cong V^{\otimes d} \otimes_{\mathbb C} (V^{\otimes d})^* \cong V^{\otimes d} \otimes (V^*)^{\otimes d} \cong (V \otimes_{\mathbb C} V^*)^{\otimes d} \cong (\operatorname{End}_{\mathbb C}V)^{\otimes d} \] 两侧取 \(\mathcal S_d\) 作用的不动点得到．
这是有趣的事情——研究张量积 \(V^{\otimes d}\) 的分解最终引导我们去研究一个更大的张量积 \((\operatorname{End}_{\mathbb C} V)^{\otimes d}\) 的对称部分．现在考察 \(\mathfrak{gl}(V)\) 和 \(\operatorname{GL}(V)\) 作为 \(V^{\otimes d}\) 上的作用在其中扮演的角色．
群 \(\operatorname{GL}\)
回忆群 \(\operatorname{GL}(V)\) 在 \(V^{\otimes d}\) 上的作用方式记作 \(\Delta_{\operatorname{GL}}^d : \operatorname{GL}(V) \to \operatorname{End}_{\mathbb C}(V^{\otimes d})\)．
证明. 只需证第一条．考虑多重线性版本的极化恒等式 \[ x_1 \dots x_d = \frac{1}{d!} \sum_{S \subseteq \{ 1, \dots, d \}} (-1)^{d - |S|} \left( \sum_{i \in S} x_i \right)^d \] 这意味着全体线性多项式的 \(d\) 次幂足以线性生成全体 \(d\) 次多项式．熟记对称代数的全体线性泛函就是多项式环，故这等价于说 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V)\) 在 \(\Delta_{\operatorname{GL}}^d\) 下的像为 \(\operatorname{Sym}^d \operatorname{End}_{\mathbb C}(V)\)．
假如 \(\operatorname{GL}(V)\) 在 \(\Delta_{\operatorname{GL}}^d\) 的像没有线性生成 \(\operatorname{Sym}^d \operatorname{End}_{\mathbb C}(V)\)，则应存在 \(\operatorname{Sym}^d \operatorname{End}_{\mathbb C}(V)\) 上的非零线性泛函（即 \(d\) 次齐次多项式）\(h\) 使得这像在 \(h\) 下被消灭，即 \(h \circ \Delta_{\operatorname{GL}}^d\) 消灭 \(\operatorname{GL}(V)\)．注意 \(h : \operatorname{Sym}^d \operatorname{End}_{\mathbb C}(V) \to \mathbb C\) 和 \(\Delta_{\operatorname{GL}}^d : \operatorname{End}_{\mathbb C}(V) \to \operatorname{Sym}^d \operatorname{End}_{\mathbb C}V\) 都是纯代数映射，Zariski 拓扑意义下连续，又 \(\operatorname{GL}(V)\) 在 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V)\) 中 Zariski 稠密，故 \(h \circ \Delta_{\operatorname{GL}}^d\) 的消灭性从 \(\operatorname{GL}(V)\) 扩展到 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V)\)．于是 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(V)\) 在 \(\Delta_{\operatorname{GL}}^d\) 下的像 \(\operatorname{Sym}^d \operatorname{End}_{\mathbb C}(V)\) 被 \(h\) 消灭——但 \(h\) 非零，这不可能发生．
注记. 另一条路线是直接证明任何有限维线性空间 \(V\) 上的齐次对称部分 \(\operatorname{Sym}^d V\) 作为 \(\operatorname{GL}(V)\) 模都不可约．
李代数 \(\mathfrak{gl}\)
回忆李代数 \(\mathfrak{gl}(V)\) 在 \(V^{\otimes d}\) 上的作用方式记作 \(\Delta_{\mathfrak{gl}}^d : \mathfrak{gl}(V) \to \operatorname{End}_{\mathbb C}(V^{\otimes d})\)．
证明. 只需证第一条．对任意 \(x \in \mathfrak{gl}(V)\)，考虑记 \[ x_i := \operatorname{id}_V \otimes \dots \otimes \rho_{V}(x) \otimes \dots \otimes \operatorname{id}_V \in (\operatorname{End}_{\mathbb C} V)^{\otimes d} \] 其中 \(x\) 在第 \(i\) 个位置，则 \(x_1, \dots, x_d\) 交换且 \[ \begin{aligned} \Delta_{\mathfrak{gl}}^d(x) &= x_1 + \dots + x_d \\ \Delta_{\mathfrak{gl}}^d(x^k) &= x_1^k + \dots + x_d^k \\ \Delta_{\operatorname{GL}}^d(x) &= x_1 \cdots x_d \end{aligned} \] 因此 \(\Delta_{\operatorname{GL}}^d(x)\) 作为 \(d\) 元基本对称多项式之一，可以写成关于幂和对称多项式 \(\Delta_{\mathfrak{gl}}^d(x), \dots, \Delta_{\mathfrak{gl}}^d(x^d)\) 的多项式表达．这就是结合代数的生成．
4 \(\operatorname{GL}(V)\) 的代数表示
关于 \(\mathbb S_\lambda V\) 的故事还没有讲完．我们刚刚建立的对偶确实完整刻画了 \(\operatorname{GL}(V)\) 和 \(\mathcal S_d\) 在 \(V^{\otimes d}\) 上作用的关系，并分类了 \(\operatorname{GL}(V)\) 作用在 \(V^{\otimes d}\) 上的不可约子表示——但这都是作为 \(\operatorname{End}_{\mathbb C} (V^{\otimes d})\) 的子代数在研究，而 \(\operatorname{GL}(V)\) 或 \(\mathfrak{gl}(V)\) 完全可能作用更多的空间上，进而产生更多的不可约表示．
在每个 \(V^{\otimes d}\) 上的讨论已经证明全体 \(\mathbb S_\lambda V\) 确为 \(\operatorname{GL}(V)\) 的不可约表示，但这就是全部了吗？还会有其它 \(\operatorname{GL}(V)\) 的不可约表示吗？
注记 (约化代数群和半单李代数的表示论). 答案是：如果考虑 \(\operatorname{GL}(V)\) 的代数表示的话，\(\mathbb S_\lambda V\) 就几乎是全部了．这是 A 型约化代数群的表示论．
\(\operatorname{GL}(V)\) 的代数表示即是研究代数群同态 \(\operatorname{GL}(V) \to \operatorname{GL}(W)\)．\(d\) 一下立刻会获得李代数同态 \(\mathfrak{gl}(V) \to \mathfrak{gl}(W)\)，因此代数群的表示论和其对应李代数的表示论联系密切．这就又涉及 \(A\) 型李代数 \(\mathfrak{gl}_n\) 或 \(\mathfrak{sl}_n\) 的表示论．
这个天坑就不在这里继续挖了．