Schur–Weyl 对偶

1 从 Sym 和 Alt 谈起

众所周知，设 \(G\) 是群，则对任意 \(G\) 的 \(n\) 维表示 \(V\)，\(V \otimes_{\mathbb C} V\) 都可以分解为子表示 \(\operatorname{Sym}^2 V\) 和 \(\operatorname{Alt}^2 V\) 的直和，其中

• \(\operatorname{Sym}^2 V\) 由 \(v \otimes w + w \otimes v\) 生成，在交换 \(V \otimes V\) 的作用下稳定，是左作用 \(G\) 的不变子空间，维数为 \({\left(\kern-.3em\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{2}\right)\kern-.3em\right)} = \frac{n(n+1)}{2}\)．

• \(\operatorname{Alt}^2 V\) 由 \(v \otimes w - w \otimes v\) 生成，在交换 \(V \otimes V\) 的作用下变号，是左作用 \(G\) 的不变子空间，维数为 \(\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\)．

对一般的 \(T^d V := V^{\otimes d}\)，也会想要获得类似的分解．当然还是先类似定义子表示 \(\operatorname{Sym}^d V\) 和 \(\operatorname{Alt}^d V\)．此时考虑 \(d\) 阶置换群 \(\mathcal S_d\) 在 \(V^{\otimes d}\) 上的作用变得有益：定义 \[ (v_1 \otimes \cdots \otimes v_d) \cdot \sigma := v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(d)} \] 为什么是右作用？因为这是对多重张量位置的置换，而位置的置换是右作用．线性扩展后这将 \(V^{\otimes d}\) 做成右 \(\mathbb C[\mathcal S_d]\)-模．于是

	\(\operatorname{Sym}^d V\)	\(\operatorname{Alt}^d V\)
作为右作用 \(\mathcal S_d\) 的像	\(V^{\otimes d}\) 在右作用 \(\sum_{\sigma \in \mathcal S_d} \sigma \in \mathbb C[\mathcal S_d]\) 下的像	\(V^{\otimes d}\) 在右作用 \(\sum_{\sigma \in \mathcal S_d} \operatorname{sgn}(\sigma) \sigma \in \mathbb C[\mathcal S_d]\) 下的像
作为右作用 \(\mathcal S_d\) 的核	全体在 \(\mathcal S_d\) 右作用下稳定的元素构成的不变子空间	全体在 \(\mathcal S_d\) 右作用下按置换的 \(\operatorname{sgn}\) 变号的元素构成的不变子空间
关于左作用 \(G\)	\(G\) 的子表示	\(G\) 的子表示
维数	\({\left(\kern-.3em\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{d}\right)\kern-.3em\right)} = \frac{n(n+1)\cdots(n+d-1)}{d!}\)	\(\binom{n}{d} = \frac{n(n-1)\cdots(n-d+1)}{d!}\)

这两个空间还是无交，但它们不再张成整个 \(V^{\otimes d}\) 了——对 \(d \geq 3\) 的情况 \(n^d > {\left(\kern-.3em\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{d}\right)\kern-.3em\right)} + \binom{n}{d}\)．\(V^{\otimes d}\) 中还藏有其它 \(\mathcal S_d\) 或 \(G\) 的不变子空间．

2 Schur–Weyl 对偶

Schur–Weyl 对偶对此给出了一个非常漂亮的答案：作为 \((\operatorname{GL}(V), \mathcal S_d)\)-双模， \[ V^{\otimes d} \cong \bigoplus_\lambda \mathbb S_\lambda V \otimes_{\mathbb C} V_\lambda \] 这里 \(\lambda \vdash d\) 取遍所有 \(d\) 长度不超过 \(n\) 的分拆，\(V_\lambda\) 是 \(\mathcal S_d\) 的不可约表示，\(\mathbb S_\lambda V\) 是 \(\operatorname{GL}(V)\) 的不可约代数表示．

这里做一些讨论．

首先，之前讨论的是任意群 \(G\) 左作用在 \(V\) 上的情况，而根据群同态 \(G \to \operatorname{GL}(V)\)，每个 \((G, \mathcal S_d)\)-双模自动成为一个 \((\operatorname{GL}(V), \mathcal S_d)\)-双模，故 Schur–Weyl 对偶给出的分解适用于任意群 \(G\) 左作用在 \(V\) 上的情况．

其次来指明 \(V_\lambda\) 和 \(\mathbb S_\lambda V\) 的定义：

• \(\mathbb C[\mathcal S_d]\)-右模 \(V_\lambda := c_\lambda \cdot \mathbb C[\mathcal S_d]\)，其中 \(c_\lambda\) 是 \(\mathcal S_d\) 中的 Young 对称化子．注意这里的 \(c_\lambda\) 乘在左边，与我们平时习惯的左作用情形对偶．

提示Remark

注记. \(V_\lambda\) 的记号里虽然有 \(V\)，实际上和 \(V\) 没有联系．要怪就怪 Fulton–Harris 是这么写的吧．

• \(\operatorname{GL}(V)\)-左模 \(\mathbb S_\lambda V := V^{\otimes d} \cdot c_\lambda\)．

  注意在此记号下，\(\operatorname{Sym}^d V\) 和 \(\operatorname{Alt}^d V\) 恰好分别是 \(\lambda = (d)\) 和 \(\lambda = (1, \dots, 1)\) 的 \(\mathbb S_\lambda V\)．

  \(\mathbb S_\lambda\) 其实是个函子：定义 \(\mathbb S_\lambda\) 在线性映射 \(f: V \to W\) 上的作用 \(\mathbb S_\lambda f\) 为 \(f^{\otimes d} : V^{\otimes d} \to W^{\otimes d}\) 限制到 \(\mathbb S_\lambda V \to \mathbb S_\lambda W\) 上．容易验证 \(\mathbb S_\lambda W\) 一侧是良定的．\(\mathbb S_\lambda\) 就是所谓的 Schur 函子．