推广的 Cayley-Hamilton 定理及其应用
线性代数中的 Cayley-Hamilton 定理指出，域 \(K\) 上线性变换 \(\varphi\) 的特征多项式 \(f(\lambda) = \det(\lambda I_n - \Phi)\) 是它的一个零化多项式，这里 \(\Phi \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(K)\) 是 \(\varphi\) 在某组基下的矩阵表示．我们将这一定理稍做推广：
证明. 设 \((x_1, \ldots, x_n)\) 为 \(M\) 一组生成元．设 \(\Phi \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(A)\) 是 \(\varphi\) 在该组生成元下的矩阵表示，即 \[ (\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n)) = (x_1, \ldots, x_n) \Phi \] 便利起见，我们做一转置 \[ \begin{bmatrix}\varphi(x_1) \\ \vdots \\ \varphi(x_n)\end{bmatrix} = \Phi^\mathrm{T}\begin{bmatrix}x_1 \\ \ldots \\ x_n\end{bmatrix} \] 注意 \(A\) 自然地嵌入 \(A[\varphi] \subset \operatorname{End}_A(M)\) 且 \(A[\varphi]\) 是交换环，故 \(A[\varphi]\) 上的矩阵运算、伴随矩阵和行列式均正常运作．在此意义下重写上式左侧： \[ (\varphi I_n) \begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} = \Phi^\mathrm{T}\begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} \] 即 \[ (\varphi I_n - \Phi^\mathrm{T}) \begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} = 0 \] 使用伴随矩阵左乘得 \[ \det(\varphi I_n - \Phi^\mathrm{T}) \begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} = 0 \] 因此 \(\det(\varphi I_n - \Phi^\mathrm{T}) = 0\)，故 \(f(\lambda) = \det(\lambda I_n - \Phi^\mathrm{T}) = \det(\lambda I_n - \Phi) \in A[\lambda]\) 是 \(\varphi\) 的一个满足条件的零化多项式．
注记. 上面给出的证明微妙之处在于每一步看上去都非常正确的矩阵运算．首先就需要注意到不能直接在 \(\operatorname{End}_A(M)\) 中使用伴随矩阵——它可能不交换，只有缩小到交换的 \(A[\varphi]\) 中工作才是安全的．其次，\(A[\varphi]\)-矩阵和 \(M\)-向量之间的乘法也需要重新定义并验证结合律之类的性质——可以认为 \(M\) 是 \(A[\varphi]\)-模，随后 \(\operatorname{Mat}_{n\times n}(A[\varphi])\) 就会自然地左作用在 \(M^n\) 上．
注记. 如果你觉得这里给出的证明有滥用矩阵记号之嫌，想看个用得不是那么多的（虽然还是绕不开伴随矩阵）：
可以参考 [1, proposition 2.4] 的证明（Atiyah 甚至没提在 \(A[\varphi]\) 里工作，太惜字如金了.jpg）
可以参考 [2, chapter 1, proposition 2.2] 的证明．因为代数数论的世界比较美好（例如线性变换都是乘一个扩环里的数，自动交换），写出来会好看一些．
如果你想看其它的证明方法：
- Wikipedia 细节丰富地记录了多种证明方法，虽然是在域上做的但区别应该不大．
推广后的 Caylay-Hamilton 定理有什么用呢？
Nakayama 引理：见 [1, proposition 2.4]，如果更进一步要求 \(\varphi (M) \subset \mathfrak a M\)，这里 \(\mathfrak a\) 是 \(A\) 的一个理想．这时 \(\Phi\) 的全体内容落在 \(\mathfrak a\) 中，于是取得零化多项式的全体系数也落在 \(\mathfrak a\) 内．此更加推广的命题用于证明著名的 Nakayama 引理．
证明整闭包构成环：见 [2, chapter 1, proposition 2.2] 或 [1, proposition 5.1]，一个重要的中间步骤是证明扩环中某几个元素是整的当且仅当它们生成的代数作为模是有限生成的．Cayley-Hamilton 定理的推广形式在充分性证明中派上用场．