置换速算技巧

math
algebra
作者

sun123zxy

发布于

2026年3月26日

置换观点速记

  • 左乘 \(\sigma \mapsto g \sigma\)：对数字做置换，\((12)(23)\) 是先交换数字 \((2, 3)\)，再交换数字 \((1, 2)\)．

  • 右乘 \(\sigma \mapsto \sigma g\)：对位置做置换，\((12)(23)\) 是先交换位置 \((1,2)\) 上的数字，再交换位置 \((2,3)\) 上的数字．

  • 共轭 \(\sigma \mapsto g \sigma g^{-1}\)：对 \(\sigma\) 做字面上 \(g\) 的重标号．\((123)(1234)(123)^{-1} = (2314)\)

轮换速算技巧

介绍一种 inline 手算轮换复合的小技巧．基本要义为以下三点：

  • 转动： \[ (aX)=(Xa) \]

  • 交换：当 \(X\), \(Y\) 无交时 \[ (X)(Y)=(Y)(X) \]

  • 缩并：当 \(X\), \(Y\) 无交时 \[ (Xa)(aY) = (XaY) \]

对复杂轮换间的复合，基本思路是找到两项公共元素，通过转位和反向缩并消去它们．可以通过这种方法证明切割公式 \((XaYb)(aUbV)=(Xa)(Yb)(aU)(bV)\) 和 \((XaYb)(bUaV)=(Xa)(Yb)(bU)(aV)\)．

使用例：

  • \((12)(1423)=(14)(23)\)
  • \((4123)(423)=(4123)(234)=(412)(34)=(124)(43)=(1243)\)
  • \((1234)(1234)=(1234)(3412)=(123)(412)=(312)(124)=(31)(24)\)
  • \((12345)(97531)=(12345)(53197)=(123)(45)(3197)=(45)(123)(3197)=(45)(23)(197)\)

这主要适用于小型轮换的计算，在轮换复杂时不一定好用．更复杂的轮换 inline 手算，推荐参考 MSE 上的讨论．