\(\mathfrak{gl}_n\)，幂零轨道与支配序
幂零锥和其上的几何：以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例
我们面向了解仿射簇、代数群、李代数但尚不熟练的读者，从相对具体的 \(\mathfrak{gl}_n\) 或 \(\mathfrak{sl}_n\) 切入，入门友好地为李代数上幂零锥的几何提供一些感觉．
1 \(\mathfrak{gl}_n\)，\(\mathrm{GL}_n\) 和共轭轨道
\(\mathfrak{gl}_n\) 是全体 \(n\) 阶复方阵组成的李代数，一个 \(n^2\) 维的仿射空间．不妨用 \(X = (x_{ij})\) 来标识其不定元．如果你更喜欢半单李代数，\(\mathfrak{sl}_n\) 是 \(\mathfrak{gl}_n\) 的一个 \(n^2-1\) 维子李代数、理想和不可约闭子簇．
注记 (\(\mathfrak{gl}_n\) vs. \(\mathfrak{sl}_n\)). \(\mathfrak{gl}_n\) 是约化李代数（reductive Lie algebra）．这个概念比半单的 \(\mathfrak{sl}_n\) 稍微广一点：约化李代数是半单李代数和一个 Abel 李代数的直和．例如，\(\mathfrak{gl}_n = \mathfrak{sl}_n \oplus \mathbb{C}\)．大量半单李代数的性质都可以推广到约化李代数．
行列式 \(\det : \mathfrak{gl}_n \to \mathbb{C}\) 是连续映射，定义 \(\mathrm{GL}_n\) 是 \(V\) 上的全体可逆线性变换组成的群——满足 \(\det X \neq 0\) 的 \(\mathfrak{gl}_n\) 开子集．
所以 \(\mathrm{GL}_n\) 也不可约．
有办法把 \(\mathrm{GL}_n\) 实现成一个真正的仿射簇：考虑 \(n^2 + 1\) 维仿射空间的闭子簇 \(\{(X, t) : \det X \cdot t = 1\} \subseteq \mathfrak{gl}_n \times \mathbb{C}\)．这也相当于是对 \(\mathfrak{gl}_n\) 的函数环在 \(\det X\) 做局部化（得到的代数簇）．
注记. 一般地，仿射簇的主开集仍可被实现为仿射簇，其函数环由对单个函数的局部化给出．其它开集不一定能被实现为仿射簇，这类更坏的开集被称为 quasi-affine variety．
那么 \(\mathrm{GL}_n\) 现在既是个群，又是个仿射簇，群的乘法和取逆运算还都是代数的（可由多项式定义的），这使得 \(\mathrm{GL}_n\) 成为一个仿射代数群．
考虑 \(\mathrm{GL}_n\) 在 \(\mathfrak{gl}_n\) 上的共轭作用 \(g \cdot X := g X g^{-1}\)．这个作用作为 \(\mathrm{GL}_n \times \mathfrak{gl}_n \to \mathfrak{gl}_n\) 的映射是代数的．考虑某元素 \(X \in \mathfrak{gl}_n\) 在共轭作用下的轨道 \(\mathcal O_X\)，则它是上述映射的一部分 \(\mathrm{GL}_n \to \mathfrak{gl}_n\) 的像．
故由于 \(\mathrm{GL}_n\) 不可约，轨道 \(\mathcal O_X\) 也不可约．
因此 \(\mathcal O_X\) 的闭包 \(\overline{\mathcal O_X}\) 也不可约．
2 幂零锥
考虑 \(\mathfrak{gl}_n\) 中的所有幂零矩阵的集合，我们称它为幂零锥，记作 \(\mathcal N\)．如果你更喜欢半单李代数，限制在 \(\mathfrak{sl}_n\) 中考虑没有区别．此时 \(\mathcal N\) 就是 \(\mathfrak{sl}_n\) 的幂零锥．
注记 (幂零与 \(\operatorname{ad}\)-幂零). 对一般的李代数，因为其上没有定义结合乘法，幂零锥定义为 \(\operatorname{ad}\)-幂零元素的集合．
易见约化李代数的幂零锥就是半单部分的幂零锥直和上 Abel 的部分．例如 \(\mathcal N(\mathfrak{gl}_n) = \mathcal N(\mathfrak{sl}_n) \oplus \mathbb{C}\)．
对半单的线性李代数来说，因为抽象 Jordan 分解和具体 Jordan 分解的一致性，\(\operatorname{ad}\)-幂零和幂零可以不做区分【TODO】．
Boilerplate？我知道我知道，抽象 Jordan 分解是个很长的故事——但 \(\mathfrak{sl}_n\) 的情形不需要这些废话：
证明 (\(\mathfrak{sl}_n\), \(\mathfrak{gl}_n\) 上的 \(\operatorname{ad}\)-幂零). 回忆任意线性李代数 \(\mathfrak g\) 中 \(\operatorname{ad}\)-幂零和幂零关系的基本处理方法：
幂零推 \(\operatorname{ad}\)-幂零是标准的左乘减右乘高次幂二项式定理论证，全球通用．
\(\operatorname{ad}\)-幂零推幂零，设 \(x \in \mathfrak g\) \(\operatorname{ad}\)-幂零，考察具体 Jordan 分解 \(x = x_s + x_n\)，其中 \(x_s\) 半单，\(x_n\) 幂零，\([x_s, x_n] = 0\)．现在假定 \(x_s\) 和 \(x_n\) 还落在 \(\mathfrak g\) 中，用 \(\operatorname{ad}\) 线性性把此式推到 \(\mathfrak{gl}(\mathfrak g)\) 得 \(\operatorname{ad}x = \operatorname{ad}x_s + \operatorname{ad}x_n\)．取基本矩阵容易验证 \(\operatorname{ad}x_s\) 半单；前面已经证明 \(x_n\) 幂零导致 \(\operatorname{ad}x_n\) 幂零；\(\operatorname{ad}\) 是李代数同态保证 \([\operatorname{ad}x_s, \operatorname{ad}x_n] = \operatorname{ad}[x_s, x_n] = 0\)．所以这是 \(\operatorname{ad}x \in \mathfrak{gl}(\mathfrak g)\) 的具体 Jordan 分解．由具体 Jordan 分解的唯一性和 \(\operatorname{ad}x\) 幂零立得 \(\operatorname{ad}x_s = 0\)，即 \(x_s\) 落在 \(\mathfrak g\) 的中心．
可以看到唯二依赖 \(\mathfrak g\) 的特殊性质的步骤是：
- 证明 \(x_s\) 和 \(x_n\) 落在 \(\mathfrak g\) 中——这是半单李代数抽象 Jordan 分解最困难的部分之一，但在 \(\mathfrak{sl}_n\) 和 \(\mathfrak{gl}_n\) 的情形平凡．
- \(x_s\) 在中心意味着什么．对半单李代数来说此即 \(x_s=0\)，此时我们证明了 \(\operatorname{ad}\)-幂零就是幂零；对 \(\mathfrak{gl}_n\) 来说 \(x_s = \lambda I\)，此时我们证明了 \(\operatorname{ad}\)-幂零的元素形如 \(\lambda I + N\)．注意这与我们之前讨论的约化李代数的幂零锥的构成一致．
幂零性质可以转写其特征多项式满足 \(\det(tI - X) = t^n\)．注意特征多项式的各系数都是 \(X\) 上的多项式函数，所以 \(\mathcal N\) 是 \(\mathfrak{gl}_n\) 的一个闭子集．
注记 (一般李代数幂零锥上的几何). 对一般的 \(n\) 维李代数 \(\mathfrak g\)，固定 \(\mathfrak g\) 的一组基 \((e_i)\)．取每个元素 \(x\) 在这组基下的坐标 \(x_i\) 作为多项式的不定元，这将 \(\mathfrak g\) 实现成一个 \(n\) 维仿射空间．现在每个 \(\operatorname{ad}x = \sum_i x_i \operatorname{ad}e_i\)．注意 \(\operatorname{ad}e_i\) 都完全由 \(\mathfrak g\) 的结构决定，因此 \(\operatorname{ad}x\) 的特征多项式的系数都是 \(x_i\) 的多项式函数．这样就将一般李代数的幂零锥实现为了 \(n\) 维仿射空间的一个闭子集．
注记 (锥？). 这是得名于 \(\mathfrak{sl}_2\) 幂零锥的形状．写出矩阵 \(\begin{pmatrix} h & e \\ f & -h \end{pmatrix}\) 的特征多项式 \(f(t) = t^2 - (h^2 + ef)\)，幂零即要求 \(h^2 + ef = 0\)——相当经典的三维空间中的二次锥面．
我们知道锥面是正规不正则——函数环整闭但有奇点、不光滑的经典案例．所谓的 Springer correspondence 就是对幂零锥进行爆破、奇点消解、上同调等操作得到的一套系统理论．
我们作如下断言：任取一个 \(\mathcal N\) 中幂零指数为 \(n\) 的幂零元素 \(X\)，其幂零轨道 \(\mathcal O_X\) 是 \(\mathcal N\) 中的一个稠密开集，从而由轨道的不可约性，\(\mathcal N = \overline{\mathcal O_X}\) 不可约．
要求幂零指数恰为 \(n\)，就是要求幂零的同时，\(X^{n-1} \neq 0\)．这相当于从幂零锥中挖走了一个闭集，当然剩下一个相对幂零锥的开集．至于其稠密性，在后面给出全体轨道上的几何后就会明朗．
注记. 一般来说，约化 / 半单李代数的幂零锥都不可约，是李代数的闭子簇．证明路径也是类似的：此类李代数的幂零锥中存在元素 \(X\)，使得其关于其 \(\operatorname{Ad}\)-群作用的幂零轨道 \(\mathcal O_X\) 是幂零锥中的一个稠密开集．这种元素被称为 regular / principal nilpotent element，并有诸如中心化子维数最小等其它刻画．
3 幂零轨道的支配序
Jordan 标准型理论告诉我们，\(\mathfrak{gl}_n\) 的幂零轨道完全由幂零元的 Jordan 型决定，后者与 \(n\) 的整数分拆（partition）或 Young 图（Young diagram）一一对应．故以后也用 \(\mathcal O_\lambda\) 的记号表示 Jordan 型为 \(\lambda\) 的元素生成的幂零轨道．
注记 (一般半单李代数上的幂零轨道分类). Bala-Carter 定理：半单李代数 \(\mathfrak g\) 上的幂零轨道与 \(\mathfrak g\) 的各 Levi 子代数上的全体 distinguished nilpotent orbit 间存在一一对应．
我们关心幂零轨道上的几何，例如幂零轨道的维数和闭包关系．本篇中我们先处理闭包关系．在幂零轨道上定义偏序：如果 \(\mathcal O_1 \subseteq \overline{\mathcal O_2}\)，就定义 \(\mathcal O_1 \trianglelefteq \mathcal O_2\)，称为幂零轨道上的支配序关系（dominance order）．事实上只要 \(\mathcal O_1\) 的任一元素落在 \(\mathcal O_2\) 的闭包里，就有 \(\mathcal O_1 \subseteq \overline{\mathcal O_2}\)——这是因为共轭作用作为李代数上的同胚与取闭包运算交换．
注记 (Specialization Order). 一般来讲，任何拓扑空间都可以通过取闭包包含的关系定义出一个预序（不保证反对称性的偏序关系），名曰 specialization preorder．
分拆上也有同名的偏序关系：如果分拆 \(\lambda\) 的每个部分和（前缀和）都大于等于 \(\mu\) 的对应部分和，则定义 \(\lambda \trianglerighteq \mu\)．支配序对应的盖住关系（covering relation）可以用 Young 图刻画：考虑 \(\lambda\) 对应 Young 图中那些比下一行至少多两个方块的行，让这一行最右侧方块“掉落”到下一行．例如，\((4,2)\) 盖住 \((3,3)\) 的图示如下： \[ \begin{array}{cccc} \bullet & \bullet & \bullet & \boxed\bullet \\ \bullet & \bullet \end{array} \quad\trianglerighteq\quad \begin{array}{ccc} \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \boxed\bullet \end{array} \]
下面的命题说明两种序其实没有区别 [1, theorem 6.2.5]：
证明 (\(\implies\) 侧证明概览). 这里提供一种基于“连续路径”的证明．考虑 running example \(\lambda = (4,2)\), \(\mu = (3,3)\)，\(\lambda \trianglerighteq \mu\)．如何连续地把幂零 Jordan 标准型矩阵 \(J_{(4,2)}\) 变成 \(J_{(3,3)}\) 呢？这样做： \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & & \\ & 0 & 1 & & & \\ & & 0 &1-t& & \\ & & & 0 & & \\ & & & & 0 & 1 \\ & & & t & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 这里列出标准基底 \(e_4\) 在上述矩阵多次作用下的变化情况： \[ e_4 \longrightarrow +\left\{\begin{aligned} t e_6 &\longrightarrow& t e_5 &\longrightarrow& 0& \\ (1-t) e_3 &\longrightarrow& (1-t) e_2 &\longrightarrow& (1-t) e_1 &\longrightarrow& 0 \end{aligned}\right. \] 可以看到：
- 当 \(t=0\) 时，就是 \(J_{(4,2)}\)；
- 当 \(t \neq 1\) 时，Jordan 型为 \((4,2)\)；
- 当 \(t=1\) 时，Jordan 型突变为 \((3,3)\)．
这是一条从 \(\mathcal O_{(4,2)}\) 内部移动到 \(\mathcal O_{(3,3)}\) 边缘的一条“连续路径”．抛开例子，上述论证对任意盖住关系都适用——只需关注 Young 图相邻两行之间的掉落，即可将这一保序映射扩展到任意 \(\lambda \trianglerighteq \mu\)．
证明 (\(\implies\) 侧的证明). 只需证明 \(\lambda\) 盖住 \(\mu\) 的情形，即 \(\lambda\) 的 Young 图通过掉落一个方块变成 \(\mu\) 的 Young 图．设是从 \(\lambda\) 的第 \(i\) 行掉到第 \(i+1\) 行．记 \(l(\lambda)\) 是 \(\lambda\) 的长度，部分和 \(S_i(\lambda) := \sum_{k=1}^i \lambda_k\)，\(J_\lambda\) 是 \(\lambda\) 对应的 Jordan 标准型，\(E_{i,j}\) 是基本矩阵，定义矩阵系列 \(\Gamma_\lambda := \{\Gamma_\lambda(t) : t \in \mathbb{C}\}\)： \[ \Gamma_\lambda(t) := J_\lambda - t E_{ S_i(\lambda) - 1, S_i(\lambda)} + t E_{ S_{i+1}(\lambda), S_i(\lambda)}\qquad t \in \mathbb{C} \] 它是 \(\mathcal N\) 的满足多项式方程 \(x_{S_i(\lambda)-1,S_i(\lambda)} + x_{S_{i+1}(\lambda),S_i(\lambda)} = 1\) 的闭子集．考察标准基 \((e_1, e_2, \dots, e_n)\) 在 \(\Gamma_\lambda(t)\) 的作用下的变化情况： \[ \begin{aligned} \Gamma_\lambda(t) e_{S_k(\lambda) + 1} &= 0 & k = 0, 1, \dots, l(\lambda) - 1 \\ \Gamma_\lambda(t) e_{S_i(\lambda)} &= (1-t) e_{S_i(\lambda) - 1} - t e_{S_{i+1}(\lambda)} \\ \Gamma_\lambda(t) e_{s} &= e_{s-1} & \text{for all other } s \end{aligned} \] 只有 \(e_{S_i(\lambda)}\) 的变化情况依赖于 \(t\)．注意 \(\lambda_i \geq \lambda_{i-1}\)，故
当 \(t \neq 1\)，\(e_{S_i(\lambda)}\) 恰需 \(\lambda_i\) 次 \(\Gamma_\lambda(t)\) 作用变为 \(0\)．取基底 \[ \{ e_k \}_{1 \leq k \leq S_{i-1}(\lambda)} \sqcup \{\Gamma_\lambda(t)^k e_{S_i(\lambda)} \}_{0 \leq k < \lambda_i} \sqcup \{ e_k \}_{S_i(\lambda) < k \leq n} \] 可知 \(\Gamma_\lambda(t) \in \mathcal O_\lambda\)．
当 \(t=1\) 时，\(e_{S_i(\lambda)}\) 恰需 \(\lambda_{i+1} + 1\) 次 \(\Gamma_\lambda(t)\) 作用变为 \(0\)，取基底 \[ \{ e_k \}_{1 \leq k < S_{i}(\lambda)} \sqcup \{\Gamma_\lambda(1)^k e_{S_i(\lambda)} \}_{0 \leq k \leq \lambda_{i+1}} \sqcup \{ e_k \}_{S_{i+1}(\lambda) < k \leq n} \] 可知 \(\Gamma_\lambda(1) \in \mathcal O_\mu\)．
于是 \(\Gamma_\lambda\) 只有一点不在 \(\mathcal O_\lambda\) 中，\(\Gamma_\lambda \cap \overline{\mathcal O_\lambda} \supseteq \overline{\Gamma_\lambda \cap \mathcal O_\lambda} = \Gamma_\lambda\)，即 \(\Gamma_\lambda \subseteq \overline{\mathcal O_\lambda}\)．故 \(\Gamma_\lambda(1) \in \overline{\mathcal O_\lambda}\)，\(\mathcal O_\mu \subseteq \overline{\mathcal O_\lambda}\)．
证明 (\(\impliedby\) 侧的证明). 注意如下若干事实：
\(\lambda \trianglerighteq \mu\) 当且仅当 \(\lambda^T \trianglelefteq \mu^T\) [1, lemma 6.3.1]：可以通过 Young 图的掉落操作直观感受和证明这一点．
秩函数具有下半连续性（lower semicontinuity）：秩不大于某数 \(k\) 的矩阵是闭集．秩的子式定义可以为此提供一个一句话证明：对这些矩阵的要求等价于大于 \(k\) 阶的子式全为零．更一般地，对任意 \(i \in \mathbb N\)，函数 \(A \mapsto \operatorname{rk}(A^i)\) 也是下半连续的．此性质使得当我们对幂零轨道取闭包时，元素及其幂次的秩都不会增加．
基于秩的 Jordan 型计算：Jordan 型为 \(\lambda\) 的幂零矩阵 \(X\) 满足其 \(i\) 次幂的秩就是 Young 图 \(\lambda\) 去掉前 \(i\) 列剩下的方块数： \[ \operatorname{rk}X^i = n - \sum_{k=1}^i (\lambda^T)_k, \quad i = 0, 1, \dots \] 这里 \(\lambda^T\) 是分拆 \(\lambda\) 的转置，即 Young 图沿主对角线的翻转．反过来这为我们提供了计算 Jordan 型的秩方法： \[ (\lambda^T)_k = \operatorname{rk}X^{k-1} - \operatorname{rk}X^k, \quad k = 1, 2, \dots \] 此外，\(X^i\) 的 Jordan 型的转置为 \((n - \operatorname{rk}X^i, \operatorname{rk}X^i - \operatorname{rk}X^{i-1}, \operatorname{rk}X^{i+1} - \operatorname{rk}X^i, \dots)\)．
现在设 \(\overline{\mathcal O_\lambda} \supseteq \mathcal O_\mu\)．不妨任取代表元 \(X \in \mathcal O_\lambda\), \(Y \in \mathcal O_\mu\)．对任意 \(i \geq 1\)，由 \(A \mapsto \operatorname{rk}(A^i)\) 的下半连续性。\(\operatorname{rk}Y^i \leq \operatorname{rk}X^i\)，故 \[ n - \sum_{k=1}^i (\mu^T)_k = \operatorname{rk}Y^i \leq \operatorname{rk}X^i = n - \sum_{k=1}^i (\lambda^T)_k \] 即 \(\mu^T\) 的第 \(i\) 个部分和大于等于 \(\lambda^T\) 的第 \(i\) 个部分和，故 \(\mu^T \trianglerighteq \lambda^T\)，\(\lambda \trianglerighteq \mu\)．
特别地，\(\mathcal O_{(n)}\) 支配所有其它幂零轨道，故其在幂零锥中稠密．