三句话证明迹的循环不变性

如题，今天是 \(\pi\) day，我们三句话为迹的循环不变性 \[ \operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(CAB) \] 提供一种圆润的理解．接受这一理解的前置条件是掌握自然同构 \(\operatorname{Hom}(V,W) \cong W \otimes V^* \cong V^* \otimes W\)．

• \(\operatorname{tr}: \operatorname{Hom}(V,V) \to \mathbb C\) 的坐标无关定义是 \(V^* \otimes V\) 上的缩并运算 \[ \begin{aligned} \operatorname{tr}: V^* \otimes V &\to \mathbb C \\ f \otimes v &\mapsto f(v) \end{aligned} \]

• 线性变换复合的张量风格定义是对关于中转空间 \(V\) 的缩并： \[ \begin{aligned} \circ: (U^* \otimes V) \otimes (V^* \otimes W) &\to U^* \otimes W \\ (f \otimes v) \otimes (g \otimes w) &\mapsto g(v) (f \otimes w) \end{aligned} \]

• 因此 \(\operatorname{Hom}(V,V) \ni A,B,C \mapsto \operatorname{tr}(ABC)\) 是 \((V^* \otimes V) \otimes (V^* \otimes V) \otimes (V^* \otimes V)\) 上三次首尾相连缩并的结果，自然具有循环对称性．

图 1

Einstein 求和约定的拥趸可能更喜欢将上述论证写作 \[ a_i^j b_j^k c_k^i = b_j^k c_k^i a_i^j = c_k^i a_i^j b_j^k \] 在这种记号下，迹的循环不变性无非是指标循环不变性带来的结果．

上述论证不作任何修改就自然推广到任意 \(n\) 个线性变换 \(\operatorname{tr}(A_1 A_2 \cdots A_n) = \operatorname{tr}(A_n A_1 \cdots A_{n-1})\) 的情况．特别地，当 \(n=2\) 时，\(\operatorname{tr}(AB)= \operatorname{tr}(BA)\)．