幂零轨道的维数
幂零锥和其上的几何：以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例
上篇介绍了幂零锥和幂零轨道的基本概念．本篇我们关心 \(\mathfrak{gl}_n\) 幂零锥和幂零轨道的维数情况．
1 定义维数
需要先澄清维数的定义．仿射空间的维数自然不必说，但定义仿射簇的维数则是另一个很长的故事．
最方便的定义是其 Zariski 拓扑不可约闭集升链的最大长度，这等价于其函数环素理想升链的最大长度，即 Krull 维数．如果考虑拓扑空间内某一点上不可约闭集的升链最大长度，或等价地考虑函数环在这点对应极大理想处局部化的 Krull 维数，则得到局部维数．易见全局维数是局部维数取上界得到．
当仿射簇不可约时，对应函数环是整环，于是有分式域，可以讨论其超越维数（transcendence degree）．Noether 正则化引理和关于整扩张下素理想升降链的 going-up / down 性质保证了超越维数和和上面定义的 Krull 维数相等．从局部化视角观察上述讨论，可知不可约代数簇的全局维数和局部维数相等．
注记. 可约仿射簇完全可以有不同维数的不可约分量，因此全局维数和局部维数不相等．
- 维数还有 Hilbert–Poincaré 多项式、准素理想的最小生成元个数等定义，这里用不到，喜欢的同学可左转 [1]．
2 态射下的维数
维数有如下好性质 [2, Corollary 2.2.9]：
作为特例，考虑代数群 \(G\) 作用在仿射簇 \(X\) 上．固定元素 \(x\)，考虑态射 \(G \to G \cdot x\)，\(g \mapsto g \cdot x\)，此映射的所有纤维都是 \(x^G\) 的陪集，故根据上述命题， \[ \dim G = \dim x^G + \dim G \cdot x \] 这里稳定核 \(x^G := \{g \in G : g \cdot x = x \}\)，\(G \cdot x\) 是 \(x\) 的轨道．这为我们提供了轨道维数的计算手段．
3 幂零轨道的维数
现在来数 \(\mathfrak{gl}_n\) 幂零轨道的维数．考察 Jordan 型为 \(\lambda \vdash n\) 的 Jordan 标准型 \(J_\lambda\) 及其轨道 \(\mathcal O_\lambda\)，根据上述技巧 \[ \dim \mathrm{GL}_n = \dim Z_{\mathrm{GL}_n}(J_\lambda) + \dim \mathcal O_\lambda \] 这里共轭作用的稳定核是与 \(J_\lambda\) 交换的全体可逆矩阵 \(Z_{\mathrm{GL}_n}(J_\lambda)\)．注意共轭群 \(\mathrm{GL}_n\) 是仿射空间 \(\mathfrak{gl}_n\) 的开子簇，因此共享维数 \(n^2\)，计算 \(\dim \mathcal O_\lambda\) 规约为计算稳定核的维数．注意 \[ Z_{\mathrm{GL}_n}(J_\lambda) = Z_{\mathfrak{gl}_n}(J_\lambda) \cap \mathrm{GL}_n \] 这里 \(Z_{\mathfrak{gl}_n(J_\lambda)}\) 是 \(J_\lambda\) 在 \(\mathfrak{gl}_n\) 里的中心化子，它不仅是闭子簇同时还是线性空间，即仿射空间，于是 \(Z_{\mathrm{GL}_n}(J_\lambda)\) 作为仿射空间 \(Z_{\mathfrak{gl}_n(J_\lambda)}\) 的开集共享空间维数．
注记. 事实上 \(Z_{\mathfrak{gl}_n}(J_\lambda)\) 是 \(Z_{\mathrm{GL}_n}(J_\lambda)\) 的李代数．
问题规约为计算 \(Z_{\mathfrak{gl}_n}(J_\lambda)\) 的维数．设分拆 \(\lambda\) 长度为 \(l\)，分块矩阵 \(X = (X_{i,j})_{1 \leq i,j \leq l}\) 想要和分块对角矩阵 \(J_\lambda := \operatorname{diag}(N_1, \dots, N_l)\) 交换，需要 \(X_{i,j} N_{j} = N_{i} X_{i,j}\) 对任意 \(1 \leq i, j \leq l\) 成立．注意这相当于是说 \(X_{i,j}\) 上移一格和右移一格（溢出不管、缺失补零）没区别——这种好事什么时候发生？
这意味着左边界和下边界除左上和右下角块全零，并且左上至右下的各条对角线上元素相同．于是只有右上侧的 \(\min(\lambda_i, \lambda_j)\) 条对角线具有自由选择元素的权利，因此整个 \(X\) 的自由度，即 \[ \dim Z_{\mathfrak{gl}_n}(J_\lambda) = \sum_{1 \leq i,j \leq l} \min(\lambda_i, \lambda_j) \] 这个数不好看，大力组合重构： \[ \begin{aligned} \dim Z_{\mathfrak{gl}_n}(J_\lambda) &= \sum_{1 \leq i,j \leq l} \min(\lambda_i, \lambda_j) \\ &= \sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^l \sum_{k=1}^l \delta(k \leq \lambda_i) \delta(k \leq \lambda_j) \\ &= \sum_{k=1}^l \sum_{i=1}^l \delta(k \leq \lambda_i) \sum_{j=1}^l \delta(k \leq \lambda_j) \\ &= \sum_{k=1}^l (\lambda^T)_k^2 \end{aligned} \] 这里 Kronecker \(\delta\) 函数来表达 0/1 条件，\(\lambda^T\) 是分拆 \(\lambda\) 的转置，\((\lambda^T)_k = \sum_{i=1}^l \delta(k \leq \lambda_i)\)．它真好看！因此 \[ \dim \mathcal O_\lambda = n^2 - \sum_{k=1}^l (\lambda^T)_k^2 \] 特别地：
- \(\mathcal O_{(n)}\) 的维数是 \(n^2 - n\)，这也是整个幂零锥 \(\mathcal N\) 的维数；
- \(\mathcal O_{(1,1,\dots,1)}\) 的维数是 \(0\)．