Artin–Rees–Krull 乱炖

Artin–Rees Lemma and Krull Intersection Theorem

本文所指环均为交换幺环．Krull 交定理刻画了 Noether 环中任意理想幂次组成的降链的极限形态：

定理 1 (Krull 交定理) 设 \(A\) 是 Noether 环，\(\mathfrak{a}\) 是 \(A\) 的一个理想．则 \[ \bigcap_{i=0}^\infty \mathfrak a^i = \{ x \in A : (1-a) x = 0 \text{ for some } a \in \mathfrak a \} \]

我们经常在以下几种特殊情形下使用 Krull 交定理，这些情况下均有 \(\bigcap_{i=0}^\infty \mathfrak a^i = (0)\)：

• 如果 \(A\) 是 Noether 环，\(\mathfrak a\) 落在 \(A\) 的 Jacobson radical 中
• 如果 \(A\) 是 Noether 局部环，\(\mathfrak a\) 是某一真理想
• 如果 \(A\) 是 Noether 整环，\(\mathfrak a\) 是某一真理想

可以看到，Krull 交定理使得 Noether 环的 Jacobson radical 的幂次理想降链一定“趋于”零理想，事实上只有两类情况：

• Jacobson radical 是幂零理想，例如 Artin 环，多项式环
• Jacobson radical 幂次不稳定，但趋于零理想，例如形式幂级数环

下面来开发证明．\(\supseteq\) 一侧是相对容易的： \[ (1-a) x = 0 \implies ax=x \implies a^n x = x \implies x \in \mathfrak a^n \] 来看另一侧．记 \(\bigcap_{i=0}^\infty \mathfrak a^i =: \mathfrak A\)，让我们猜测 \[ \mathfrak a \mathfrak A = \mathfrak A \] 这样由 Nakayama 引理就存在 \(1-a \in \mathfrak A\) 使得 \((1-a) \mathfrak A = 0\)，得证．

所以关键在于怎么证明 \(\mathfrak a \mathfrak A = \mathfrak A\)．想象中，我们怎么把左边乘在外面的 \(\mathfrak a\) 想办法放入交中？

定理 2 (Artin–Rees) 设 \(R\) 为一 Noether 环，\(I\) 是 \(R\) 的一个理想，\(M\) 为一有限生成 \(R\)-模，\(N\) 是 \(M\) 的子模．则存在正整数 \(k\) 使得 \[ I^{n} (I^k M \cap N) = I^{n+k} M \cap N \] 对任意 \(n \in \mathbb N\) 成立．

使用该引理，取 \(R = A\), \(I = \mathfrak a\), \(M=\mathfrak a^k\), \(N=\bigcap_{i=k+1}^\infty \mathfrak a^i\), \(n=1\) 就有 \[ \mathfrak a \mathfrak A = \mathfrak a \bigcap_{i=k}^\infty \mathfrak a^i = \mathfrak a \left( \mathfrak a^k \cap \bigcap_{i=k+1}^\infty \mathfrak a^i \right) = \mathfrak a^{k+1} \cap \bigcap_{i=k+1}^\infty \mathfrak a^i = \mathfrak A \] 证毕．下面来证明引理．

Proof (定理 2)

证明 (定理 2). 左边一定是在右边里的．我们来证明右边一定包含在左边里．TODO

Acknowledgement

感谢 Luna 在本文写作过程中提供的帮助和建议．