Artin–Noether 乱炖
On the Equivalence of Artinian and Zero-Dimensional Noetherian Rings
本文所指环均为交换幺环．我们重新编排一下 [1, chapter 8] 的顺序，开发以下著名的 Artin 环等价刻画的证明：
回忆如果环 \(A\) 作为 \(A\)-模具有有限长度的合成列，那么它既是 Artin 环，也是 Noether 环1．故只需分析环拥有有限长度合成列的条件．
1 这甚至是充要条件，详见 [2, corollary 19.5]
局部
让我们先解决局部的情况．设 \(A\) 是具有唯一极大理想 \(\mathfrak m\) 的局部环．我们有一条天然的理想降链 \[ A \supseteq \mathfrak m \supseteq \mathfrak m^2 \supseteq \dots \] 这条降链可能出现以下三种情况：
降链不稳定，即 \(m^i \supsetneq m^{i+1}\)．
如形式幂级数环 \(K[[x]]\)．它是 Noether 环，不是 Artin 环，降链为： \[ K[[x]] \supsetneq (x) \supsetneq (x^2) \supsetneq \dots \]
如多项式环 \(K[x]\) 在素理想 \((x)\) 处的局部化 \(K[x]_{(x)}\)．它是 Noether 环，不是 Artin 环．
\[ K[x]_{(x)} \supsetneq (x) \supsetneq (x^2) \supsetneq \dots \]
降链稳定，即存在 \(k\) 使得 \(\mathfrak m^k = \mathfrak m^{k+1} = \cdots\)，但稳定的 \(\mathfrak m^k\) 不是零理想．
例子有点难找，我们暂且不表．
降链稳定且 \(\mathfrak m^k = (0)\)，即 \(\mathfrak m\) 是幂零理想．
如 \(K[x] / (x^3)\)．它是 Noether 环，也是 Artin 环．
注记. 事实上，如果环是 Noetherian 的，第二种情况不可能出现——这用 Nakayama 引理分析降链尾部稳定部分立得；而第一种情况的降链也必然趋于零理想——这是局部环上的 Krull 交定理保证的．
根据这些例子，看起来我们有必要加入 \(\mathfrak m\) 是幂零理想的条件．设其幂零指数为 \(k\)．此时有理想降链 \[ A \supseteq \mathfrak m \supseteq \mathfrak m^2 \supseteq \dots \supseteq \mathfrak m^k = (0) \] 让我们试着把它补全成一个合成列．\(A / \mathfrak m\) 是域；\(\mathfrak m^i / \mathfrak m^{i+1}\) 是 \(A / \mathfrak m\)-模，也就是线性空间．嗯，于是想让它长度有限，只需要求每个 \(\mathfrak m^i / \mathfrak m^{i+1}\) 的维数有限即可．而在线性空间里，Artinian 和 Noetherian 是等价的，而这两个性质都是子模、商模遗传的——故 \(\mathfrak m\) 幂零时，局部环 \(A\) 的 Artinian 性质和 Noetherian 性质等价．
注记. 这个思路其实是 [1, corollary 6.11] 的特例．
那什么时候 \(\mathfrak m\) 幂零呢？
\(\mathfrak m\) 幂零蕴含着 Krull 维度为零．设 \(\mathfrak m^k = (0)\)，两端同时取 radical 就有 \(\mathfrak m = \sqrt{(0)}\)，后者是 nilradical，是全体素理想的交．那随便取一素理想 \(\mathfrak p\) 就有 \(\mathfrak m = \sqrt{(0)} \subseteq \mathfrak p\)，再用 \(\mathfrak m\) 的极大性就有 \(\mathfrak m = \mathfrak p\)，也就是说 \(\mathfrak m\) 也是局部环 \(A\) 唯一的素理想．因此 \(A\) 的 Krull 维度为零．
当 \(A\) 是 Noether 环时，Krull 维度为零可以推出 \(\mathfrak m\) 幂零．Krull 维数为零意味着 \(\mathfrak m\) 就是 nilradical，后者在 Noether 环中是幂零理想：
Proof证. 容易利用生成元有限和鸽巢原理得证．
Remark注记. 一个常见变体是，Noether 环中任意理想的 radical 的自乘若干次幂一定落入该理想中．
\(A\) 是 Artin 环蕴含了 \(A\) 是零维的——我们直接给出一般情况的证明：
Proof证. 设 \(A\) 是 Artin 环，\(\mathfrak p\) 是 \(A\) 的素理想．注意 Artinian 性质在商模上保持，我们证明 Artin 整环 \(A / \mathfrak p\) 是域．任取非零元 \(x \in A / \mathfrak p\)，考察理想降链 \[ (x) \supseteq (x^2) \supseteq (x^3) \supseteq \dots \] 由于 \(A / \mathfrak p\) 是 Artin 环，降链稳定，则存在 \(k\) 使得 \((x^k) = (x^{k+1})\)，于是存在可逆元 \(c \in A / \mathfrak p\) 使得 \(x^{k+1} = c x^k\)．用整环消去律立得 \(x = c\)，即 \(x\) 可逆．因此 \(A / \mathfrak p\) 是域，\(\mathfrak p\) 是极大理想．
\(A\) 是 Artin 环蕴含了 \(\mathfrak m\) 幂零．根据上一条结果，\(\mathfrak m\) 在 Artin 环中其实就是 nilradical，我们可以使用如下不太平凡的结果：
Proof证. Artinian 性质使得 \(\mathfrak N\) 幂次组成的降链稳定，不妨设最后稳定在 \(\mathfrak L\)，于是 \(\mathfrak N \mathfrak L = \mathfrak L\)．假如 \(\mathfrak L\) 非零，取一极小（Artin 降链条件保证能取到）非零子理想 \(\mathfrak a \subset \mathfrak L\) 满足 \(\mathfrak a \mathfrak L \neq (0)\)，则 \(\mathfrak a\) 必为一主理想 \((a)\)．但理想 \(a \mathfrak L\) 也满足 \((a \mathfrak L) \mathfrak L = a(\mathfrak L \mathfrak L) = a \mathfrak L \neq (0)\)，故由极小性，\((a) = a \mathfrak L\)．于是存在 \(l \in \mathfrak L \subset \mathfrak N\) 使得 \(a = al\)．但 \(l\) 是幂零元，故 \(a = al = al^2 = \dots = 0\)，矛盾．
Remark注记. 这个证明比较难想，主要是利用了 \(\mathfrak L\) 是幂等理想的性质．事实上可以使用 Nakayama 引理证明：任何有限生成的幂等理想都是某一幂等元素生成的主理想．这个幂等元素就类似于上述证明中我们费力构造出的 \(a\)．
综上，我们获得了局部环内 Artin 环等价于零维 Noether 环的证明，或者说：
全局
现在我们不再假设 \(A\) 是局部环．发挥类似 \(\mathfrak m\) 效果的理想变成了 Jacobson radical \(\mathfrak J := \bigcap_i \mathfrak m_i\)．我们仍然可以考虑 \(\mathfrak J\) 的各幂次形成的降链 \[ A \supseteq \mathfrak J \supseteq \mathfrak J^2 \supseteq \dots \] 并讨论它的稳定性——类似的，我们要求 \(\mathfrak J\) 是幂零理想．刚刚已经做过局部环的情况，要是全局的情况也能约化到局部就好了．Jacobson radical 作为极大理想的交很自然的让我们想到中国剩余定理，于是我们再加入一个条件：\(A\) 的极大理想数量有限，此时 \[ \begin{aligned} A &\cong A / \mathfrak J^k & \text{by nilpotency of } \mathfrak J \\ &\cong A / \left(\bigcap_i \mathfrak m_i \right)^k \\ &\cong A / \left(\prod_i \mathfrak m_i \right)^k & \text{by finite maximal ideals}\\ &\cong A / \prod_i \mathfrak m_i^k \\ &\cong \prod_i A / \mathfrak m_i^k & \text{by Chinese Remainder Theorem} \end{aligned} \]
注记. 最后一步需要用到 \(\mathfrak m_i^k\) 两两 comaximal 的性质．事实上，comaximal 的性质关于取 radical 保持：理想 \(\mathfrak a, \mathfrak b\) 满足 \(\mathfrak a + \mathfrak b = A\) 当且仅当 \(\sqrt{\mathfrak a} + \sqrt{\mathfrak b} = A\)：
\[ \begin{aligned} \mathfrak a + \mathfrak b = A &\iff \sqrt{\mathfrak a + \mathfrak b} = A \\ &\iff \sqrt{\sqrt{\mathfrak a} + \sqrt{\mathfrak b}} = A \\ &\iff \sqrt{\mathfrak a} + \sqrt{\mathfrak b} = A \end{aligned} \]
此外，可见对非局部环的情况，任何极大理想 \(\mathfrak m\) 都不可能幂零：否则 \(\mathfrak m \subseteq \mathfrak R \subset \mathfrak J \subseteq \mathfrak m\)，局部环．
注意 \(A / \mathfrak m_i^k \cong A_{\mathfrak m_i} / \mathfrak m_i^k A_{\mathfrak m_i}\) 都是极大理想为 \(\mathfrak m_i\) 的局部环．于是 \(A\) 被拆分为有限个局部环的直积．Artinian、Noetherian、零维的性质因此在 \(A\) 及其局部环间双向传播．这样 \[ \begin{aligned} A \text{ is Artinian} &\iff A / \mathfrak m_i^k \text{ is Artinian for each } i \\ &\iff A / \mathfrak m_i^k \text{ is Noetherian and of Krull dimension $0$ for each } i \\ &\iff A \text{ is Noetherian and of Krull dimension $0$} \end{aligned} \]
总结一下，在 Jacobson radical \(\mathfrak J\) 幂零且极大理想数量有限的环中，Artinian 等价于零维 Noetherian．
注记. 上述将 Artin 环分解为若干 Artin 局部环的分解被称为 Artin 环的结构定理．该分解事实上还具有唯一性，请参考 [1, theorem 8.7]．
现在只需研究这额外增加的两个条件的性质．和我们在局部环中的讨论一致，Jacobson radical \(\mathfrak J\) 的幂零性可由：
获得．而关于极大理想数量有限，首先我们指出这条件的必要性——考虑多项式环 \(K[x]\)，它是 Jacobson 根为零理想的 Noetherian 环，但不是 Artin 环．其次，它可以由以下两种情况获得：
Artin 环：
Proof证. 考虑所有极大理想的有限交组成的理想族，通过 Artin 环的降链稳定性取出其中的一个极小理想，设它是 \(\mathfrak a := \mathfrak m_1 \cap \dots \cap \mathfrak m_k\)．假若极大理想无限，则取一不同于 \(\mathfrak m_1, \dots, \mathfrak m_k\) 的极大理想 \(\mathfrak m_{k+1}\)，就有 \(a \cap m_{k+1} \subsetneq a\)，与 \(\mathfrak a\) 的极小性矛盾．
零维 Noether 环：
Noether 环的任意理想都有准素分解 [1, theorem 7.13]，特别地，考虑零理想的准素分解，取 radical 得到 nilradical \(\mathfrak R\) 的素理想分解 \(\mathfrak R = \bigcap_i \mathfrak p_i\)．
我们指出，其它 \(A\) 的素理想都至少包含某个 \(\mathfrak p_i\)：对任意素理想 \(\mathfrak p\)，\(\prod_i \mathfrak p_i \subseteq \bigcap_i \mathfrak p_i = \mathfrak R \subseteq \mathfrak p\)，再用素理想等价刻画 [1, theorem 1.11 (ii)] 就存在特定 \(i\) 使得 \(\mathfrak p_i \subseteq \mathfrak p\)．
现在使用 \(A\) 的零维性，立得 \(\mathfrak p_i\) 组成 \(A\) 的所有极大理想，故 \(A\) 的极大理想数量有限．
至此我们完成了 Artin 环等价于零维 Noether 环的证明．既然已经知道 Artinian 强于 Noetherian，让我们把定理改写成更加令人印象深刻的形式：
TODO：[2] 提供了证明的另一条路径．
后记
除环的 Krull 维数外，刻画局部 Noether 环的另一重要参数是 \(\dim_k (\mathfrak m / \mathfrak m^2)\)：\(\mathfrak m / \mathfrak m^2\) 作为 \(k := A / \mathfrak m\)-线性空间的维数．由 Nakayama 引理 [1, proposition 2.8]，\(\dim_k (\mathfrak m / \mathfrak m^2)\) 恰为 \(\mathfrak m\) 的最小生成元个数．
\(\dim_k (\mathfrak m / \mathfrak m^2) = 0\) 时，\(\mathfrak m = 0\)，故 \(A\) 是域．现在来看第二简单的情况：\(\dim_k (\mathfrak m / \mathfrak m^2) = 1\)．使用 Krull 交定理可以证明，如下条件对局部 Noether 环 \(A\) 等价：
\(A\) 是 PIR，即所有理想都是主理想．
\(A\) 的极大理想 \(\mathfrak m\) 是主理想．
\(\dim_{k} (\mathfrak m / \mathfrak m^2) = 1\)．
每个非零理想都是 \(\mathfrak m\) 的某个幂次．
考虑到 定理 2，当 \(\mathfrak m\) 不稳定时，任意非零理想都是 \(\mathfrak m\) 的某个幂次，故任意非零素理想都是 \(\mathfrak m\)，即 \(A\) 至多一维．当 \(\mathfrak m\) 稳定（即幂零），我们得到 Artin 的零维局部 PIR．否则 \(A\) 是维度为 \(1\) 的整环，此时这种环被称为离散赋值环（Discrete Valuation Ring, DVR），典型的例子有
- \(k[x]_{(x)}\)：一元多项式环在素理想 \((x)\) 处的局部化是 DVR．
- \(k[[x]]\)：一元多项式环在 \((x)\) 处的完备化是 DVR．
- \(k[x,y]_{(x)}\)：整闭的 Noether 整环在高度为 \(1\) 的素理想处的局部化是 DVR．人话：不可约代数超曲面（余维为 \(1\)）附近的函数芽是 DVR．
一般地，满足 Krull 维数等于 \(\dim_k (\mathfrak m / \mathfrak m^2)\) 的局部 Noether 环被称为是正则的（[1, theorem 11.22]；前者在一般情况下小于等于后者）．DVR 恰是一维正则局部环．
来看整体．之前看到，零维 Noether 环是若干局部 Artin 环的直积，故零维 Noether 环是 PIR 当且仅当每个局部环都是 PIR．现在来看一维 Noether 环，我们希望将局部正则性翻译到整体上．事实是：
- 对一维局部诺特环，DVR 等价于整闭性．[1, proposition 9.2]
- 整闭是局部性质．[1, proposition 5.13]
故一维 Noether 环整闭当且仅当它的每个局部化是 DVR．这种环被称为 Dedekind 整环．典型的例子有:
- 代数数域的整数环，即 \(\mathbb Z\) 在 \(\mathbb Q\) 的某一有限域扩张中的整闭包．[1, theorem 9.5]
- non-singular 的不可约代数曲线（一维代数簇）的函数环．注意曲线的 non-singularity 恰为每点局部化的正则性要求．
Dedekind 整环有很多数论上的好性质，例如
- 所有准素理想都是某个素理想的幂次 [1, theorem 9.3]
- 所有理想都有唯一素理想乘积分解 [1, theorem 9.4]
等．这里就不展开了．
Acknowledgement
感谢 Luna 在本文写作过程中提供的帮助和建议．