零点定理乱炖

Suspicious Nullstellensatz Soup

Abstract

On Hilbert’s Nullstellensatz and the ideal–variety correspondence.

本文所指环均为含幺交换环．

记号上我们用正体大写字母 \(\mathrm{X}\) 标记多项式不定元，用粗体 \(\boldsymbol{x}\) 标记向量．记 \(K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\) 为 \(K\) 上的 \(n\) 元多项式环——这个记号可以有两种理解方式：一种是认为 \(\boldsymbol{\mathrm{X}}\) 是不定元的向量，另一种是就认为 \(\boldsymbol{\mathrm{X}}\) 就是 \(n\) 维仿射空间 \(K^n\)，而 \(K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\) 是它的坐标环．

我们记 \(\operatorname{Spec}R\) 为环 \(R\) 的全体素理想，\(\operatorname{Specmax}R\) 为环 \(R\) 的全体极大理想．对任意 \(R\) 的理想 \(\mathfrak a\)，记 \(J(\mathfrak a)\) 是其 Jacobson radical，即全体包含 \(\mathfrak a\) 的极大理想的交．记 \(\sqrt{\mathfrak a}\) 为理想 \(\mathfrak a\) 的根理想 / nilradical，即 \(\{ f \in R : f^n \in \mathfrak a \text{ for some } n \in \mathbb N_+ \}\)．[1, proposition 1.8] 给出了 nilradical 的等价刻画：它也是全体包含 \(\mathfrak a\) 的素理想的交．

1 Hilbert’s Nullstellensatz

对任意子集 \(T \subseteq K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\)，我们记 \(V(T)\) 为全体 \(T\) 中函数在 \(K^n\) 中零点集的交．对任意子集 \(S \subseteq K^n\)，记 \(I(S)\) 是全体在 \(S\) 上取值为 \(0\) 的 \(K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\) 中的多项式．

考虑代入映射 \(\operatorname{ev}_{\boldsymbol{x}}: K[\boldsymbol{\mathrm{X}}] \to K\), \(f \mapsto f(\boldsymbol{x})\)．这是一个 \(K\)-代数同态，其核 \(\ker \operatorname{ev}_{\boldsymbol{x}}\) 为所有在点 \(\boldsymbol{x}\) 处取值为零的多项式，且 \(K[\boldsymbol{\mathrm{X}}] / \ker \operatorname{ev}_{\boldsymbol{x}} \cong K\)，故它是极大理想．容易验证理想 \((\mathrm{X}_i - x_i)_{i=1}^n \subseteq \ker \operatorname{ev}_{\boldsymbol{x}}\) 且也是极大理想，故二者相等．这意味着 \(\boldsymbol{x} \mapsto \ker \operatorname{ev}_{\boldsymbol{x}}\) 给出了一个 \(K^n \to \operatorname{Specmax}K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\) 的映射——容易验证它也是单射．

弱形式的 Hilbert 零点定理断言这个映射甚至还是满射：

定理 1 (Hilbert’s Nullstellensatz (Weak Form)) 以下表述等价，并在 \(K\) 是代数闭域时成立：

• \(K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\) 中的极大理想都是点，即均形如 \((\mathrm{X}_i - x_i)_{i=1}^n\)．

• 对任意理想 \(\mathfrak a \subseteq K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\)，如果 \(V(\mathfrak a) = \varnothing\)，则必有 \(\mathfrak a = K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\)．

TFAE 是容易的．来考虑在代数闭域情形下证明第一条．对任意 \(K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\) 的极大理想 \(\mathfrak m\)，我们来想办法把它对应的点找出来．考察自然的 \(K\)-代数同态 \(K[\boldsymbol{\mathrm{X}}] \to K[\boldsymbol{\mathrm{X}}] / \mathfrak m\)，后者是一个域．如果后者作为 \(K\)-代数典范地同构于 \(K\)（或者更准确来说，其作为 \(K\)-线性空间维数为 \(1\)）的话，那么复合 \(K\)-代数同态 \[ K[\boldsymbol{\mathrm{X}}] \to K[\boldsymbol{\mathrm{X}}] / \mathfrak m \cong K \] 就把 \(\mathrm{X}_i\) 映到某一 \(k_i \in K\)，这样就有 \((\mathrm{X}_i - k_i)_{i=1}^n \subseteq \mathfrak m\) 了．考虑到前者的极大性，我们便有 \((\mathrm{X}_i - k_i)_{i=1}^n = \mathfrak m\)．

那关键在于为什么一定有 \(K\)-代数同态 \(K[\boldsymbol{\mathrm{X}}] / \mathfrak m \cong K\)，而不是什么别的域．我们介绍一个极其重要的引理：

命题 1 (Zariski’s Lemma) 有限生成 \(K\)-代数 \(A\) 如果是一个域，则作为 \(K\)-线性空间是有限维的．

Proof

证明. TODO，并不容易．有多种证明路径，光 [1, exercise 5.18] 就提了基于整性的 Noether normalization lemma 和 Artin–Tate lemma 两种路径．和 Noetherian 性有紧密联系．

那么作为推论，对任意 \(A\) 的极大理想 \(\mathfrak m\)，\(A / \mathfrak m\) 都是 \(K\) 的有限维扩张，因此也是代数扩张．当 \(K\) 是代数闭域的时候，我们就有 \(A / \mathfrak m \cong K\)．特别地取 \(A = K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\) 就补全了 定理 1 证明缺失的步骤．

Hilbert 零点定理还有更强的形式：

定理 2 (Hilbert’s Nullstellensatz (Strong Form)) 当 \(K\) 是代数闭域时，对任意理想 \(\mathfrak a \subseteq K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\)，均有 \(IV(\mathfrak a) = \sqrt{\mathfrak a}\)．

为什么说它更强？因为当 \(V(\mathfrak a) = \varnothing\) 时可以推出 \(IV(\mathfrak a) = I(\varnothing) = R\)，即弱形式的 Hilbert 零点定理．

下面给出第一条的证明，思路来自 MathOverflow：

Proof

证明. 对任意理想 \(\mathfrak a \subseteq K[\boldsymbol{\mathrm{X}}]\)，对任意元素 \(f(\boldsymbol{\mathrm{X}}) \in IV(\mathfrak a)\)，我们有如下等价链：

• \(f \in \sqrt{\mathfrak a}\)

• \(\bar f \in \sqrt{0} \subseteq K[\boldsymbol{\mathrm{X}}] / \mathfrak a\)

• \(K[\boldsymbol{\mathrm{X}}] / \mathfrak a\) 在 \(\bar f\) 处的局部化 \(\left(K[\boldsymbol{\mathrm{X}}] / \mathfrak a \right)_{\bar f} \cong K[\boldsymbol{\mathrm{X}}, \mathrm{Y}] / (\mathfrak a, \mathrm{Y}f(\boldsymbol{\mathrm{X}}) - 1)\) 是零环

  • 这一步往往被称为 Rabinowitsch trick

• \((\mathfrak a, \mathrm{Y}f(\boldsymbol{\mathrm{X}}) - 1) = K[\boldsymbol{\mathrm{X}}, \mathrm{Y}]\)

• \(\begin{aligned} V_{K[\boldsymbol{\mathrm{X}}, \mathrm{Y}]}(\mathfrak a, y f(\boldsymbol{\mathrm{X}}) - 1) &= V_{K[\boldsymbol{\mathrm{X}}, \mathrm{Y}]}(\mathfrak a) \cap V_{K[\boldsymbol{\mathrm{X}}, \mathrm{Y}]}(\mathrm{Y}f(\boldsymbol{\mathrm{X}}) - 1) \\ &= \{(\boldsymbol{x}, y) : \boldsymbol{x} \in V(\mathfrak a) ,\, y f(\boldsymbol{x}) = 1 \} \end{aligned}\) 是空集

  • 等价性由 定理 1 得到

注意由假设 \(f \in IV(\mathfrak a)\)，当 \(\boldsymbol{x} \in V(\mathfrak a)\) 时我们有 \(f(\boldsymbol{x}) = 0\)，因此它确实是空集．

Remark (Jacobson 环)

注记 (Jacobson 环). 当 \(K\) 是代数闭域时，由于弱形式的 Hilbert 零点定理，\(IV(\mathfrak a) = J(\mathfrak a)\)．于是定理的陈述等价于 \(J(\mathfrak a) = \sqrt{\mathfrak a}\)——对一般的环 \(R\) 来说，这是 Jacobson 环的等价定义之一．Jacobson 环有如下等价刻画：

• 对任意理想 \(\mathfrak a \subseteq R\)，\(J(\mathfrak a) = \sqrt a\)
• 对任意理想 \(\mathfrak a \subseteq R\)，\(R / \mathfrak a\) 的 Jacobson radical 与其 nilradical 相等
• 每个素理想均能写成包含它的极大理想的交
• （Zariski’s Lemma）任意有限生成 \(R\)-代数 \(A\) 如果是域，则 \(A\) 作为 \(R\)-模有限生成．

前三条的 TFAE 是平凡的．加入第四条和前面提到的 Zariski lemma 的证明有关，TODO．

2 Ideal–Variety Correspondence

强形式的 Hilbert 零点定理，可以帮我们将代数闭域上 \(n\) 维仿射空间的 Zariski 拓扑和一般环上基于素理想的 Zariski 拓扑统一起来．

2.1 World of Prime Ideals

在素理想版本的 Zariski 拓扑中，我们定义了映射

• \(\text{subsets of } \operatorname{Spec}R \overset{I_p}{\underset{V_p}\rightleftarrows} \text{ideals of } R\)
• \(V_p(\mathfrak a) := \{ \mathfrak p \in \operatorname{Spec}R : \mathfrak a \subseteq \mathfrak p \}\) 定义了 \(\operatorname{Spec}R\) 上的闭集
• \(I_p(S) := \bigcap_{\mathfrak p \in S} \mathfrak p\)：易证它是根理想（radical ideal），对开根号封闭

注意它们满足性质

• \(V_p(\mathfrak a) \subseteq S \iff \mathfrak a \supseteq I_p(S)\)

让我们暂时忘记这个对应的具体形式，搞点被称为所谓 Galois Connections 的抽象以获得更清晰的推导．设 \((A,\leq)\) 和 \((B,\leq)\) 为两个偏序集，\(V: A \to B\) 和 \(I: B \to A\) 是两个满足 \(V(a) \leq b \iff a \geq I(b)\) 的反序（antitone）映射．倒定义获得如下两个消去关系:

• \(V(a) = V I V (a)\)：

  • \(V(a) \leq VIV(a) \impliedby a \geq IV(a) \impliedby V(a) \leq V(a)\)
  • \(VIV(a) \leq V(a) \impliedby IV(a) \geq IV(a)\)

• \(I (b) = I V I (b)\)：

  • \(I(a) \geq IVI(a) \impliedby VI(a) \leq VI(a)\)
  • \(IVI(a) \geq I(a) \impliedby VI(a) \leq a \impliedby I(a) \leq I(a)\)

这诱导出所谓的 Galois correspondence：\(IV(A) \cong VI(B)\)，并立即应用在素理想 Zariski 拓扑的世界中得到 \(I_p V_p(\{ \text{ideals of } R \} ) \cong V_p I_p(\operatorname{Spec}R)\)．什么和什么的一一对应呢？让我们做分析：

• \(V_p I_p (S) = \overline S\)：拆定义 \[ \overline S = \bigcap_{S \subseteq V_p(\mathfrak a)} V_p(\mathfrak a) = \bigcap_{a \subseteq I_p(S)} V_p(\mathfrak a) = V_p I_p (S) \]

  这是 \(VI: A \to A\) 在 Galois connection 的语境中被称为闭包算子（closure operator）的原因．

• \(I_p V_p (\mathfrak a) = \sqrt{\mathfrak a}\)：即 nilradical 的等价刻画

  这是 \(IV: B \to B\) 在 Galois connection 的语境中被称为核算子（kernel operator）的原因．

作为推论：

• \(V_p(\mathfrak a) = V_p I_p V_p (\mathfrak a) = V(\sqrt a)\)．

• \(I_p (S) = I_p V_p I_p (S) = I(\overline S)\)

也就是说，我们刚刚建立起的是素理想世界 Zariski 拓扑闭集和根理想的一一对应．

2.2 World of Maximal Ideals

现在来到极大理想的世界．因为弱形式 Hilbert 零点定理的存在，我们先前在（代数闭域上）多项式环上定义的 \(V\) 和 \(I\) 推广到环上其实是：

• \(\text{subsets of } \operatorname{Specmax}R \rightleftarrows \text{ideals of } R\)

• \(V_m(\mathfrak a) = \{ \mathfrak m \in \operatorname{Specmax}R : \mathfrak m \supseteq \mathfrak a \} = V_p(\mathfrak a) \cap \operatorname{Specmax}R\)：仍然作为闭集，在（代数闭域上）多项式环中它们被称为代数簇（algebraic variety）．注意现在 \(\operatorname{Specmax}R\) 成为 \(\operatorname{Spec}R\) 的子拓扑．

• \(I_m(S) = \bigcap_{\mathfrak m \in S} \mathfrak m\)，所谓的 vanishing ideals．

上述 Galois connection 仍然完全适用于极大理想的这个世界，故我们仍然有对应 \(I_m V_m(\{ \text{ideals of } R \}) \cong V_m I_m(\operatorname{Specmax}R)\)．但是一一对应的对象有细微的变化：

• \(V_m I_m (S) = \overline S\)，但这个闭包是限制在 \(\operatorname{Specmax}R\) 的子拓扑下取的．

• \(I_m V_m (\mathfrak a) = J(\mathfrak a)\)，\(\mathfrak a\) 的 Jacobson radical．满足 \(\mathfrak a = J(\mathfrak a)\) 的理想被称为 semiprimitive ideals．

作为推论：

• \(V_m(\mathfrak a) = V_m I_m V_m (\mathfrak a) = V(J(a))\)．

• \(I_m (S) = I_m V_m I_m (S) = I(\overline S)\)

也就是说，这里建立的是极大理想世界 Zariski 拓扑闭集和 semiprimitive ideals 的一一对应．

也许是因为 nilradical 具有更直观的基于幂零的等价刻画，代数几何学家们更喜欢研究根理想而不是 semiprimitive ideals．但是他们又懒得素理想世界里面工作——在（代数闭域上）多项式环的语境中，极大理想就是点，\(\operatorname{Specmax}R\) 蕴含的信息等价于仅看多项式零点可以给出的信息——比起复杂太多的素理想，谁不喜欢这种更清晰的几何直观呢！

固然 \(\sqrt a \subseteq J(\mathfrak a)\)，要是更有 \(\sqrt{\mathfrak a} = J(\mathfrak a)\) 就好了——这恰是 Jacobson 环的定义．综上，可以看到 Jacobson 性使得我们可以把 Zariski 拓扑限制到极大理想上研究，而仍然获得根理想的全部信息．特别地，这使得研究多项式零点成为了解（代数闭域上）多项式环性质的重要手段．

3 A Few Remarks

Remark (Scheme)

注记 (Scheme). 值得一提，这并不是说多项式零点包含（代数闭域上）多项式环的所有信息——只看 Zariski 拓扑仍然会使我们丢失环的幂零信息——这是更精细的代数几何需要概型（scheme）的原因之一．另一个原因和从 \(\mathbb R^n\) 到流形的过程很类似：为了建立 algebraic variety 和 projective variety 的统一表述．

Remark (哪些环是 Jacobson 环)

注记 (哪些环是 Jacobson 环). 比你想象的要多！

• 域

• 零维环

• Jacobson radical 为零的 PID

• \(R[\mathrm{X}]\) 是 Jacobson 环当且仅当 \(R\) 是 Jacobson 环

  故事实上所有域上的多项式环都是 Jacobson 环！

  证明 TODO

• 商环保 Jacobson 性

Remark (哪些环不是 Jacobson 环)

注记 (哪些环不是 Jacobson 环).

• 非零维局部环，如 DVR

  这些环的极大理想非零唯一，但还有别的素理想

• 所以局部化不一定保持 Jacobson 性

Remark (不应简单认为 Jacobson 环是强形式 Hilbert 零点定理的推广)

注记 (不应简单认为 Jacobson 环是强形式 Hilbert 零点定理的推广). 事实上域上的多项式环都是 Jacobson 环，但非代数闭域只看零点仍会丢失除了幂零之外的更多信息：

• 例如 \(\mathbb R [\mathrm{X}]\)，\(V(X^2 + 1) = \varnothing = V(1)\)，观察零点集无法区别这两个多项式．

  事实上 \(\mathbb R [\mathrm{X}] / (X^2 + 1) \cong \mathbb C\)，而不是同构于 Hilbert 零点定理会希望有的 \(\mathbb R\)．

• 例如 \(\mathbb F_p [\mathrm{X}]\)．你甚至无法分辨 \(\mathrm{X}^{p-1} - 1\) 和 \(0\) 的区别．

  这甚至是更极端的例子——即使观察全部函数值（强于观察零点集）也会丢失信息．这类多项式环与对应的其多项式函数环不同构．

二者的等价性只在代数闭域上多项式环中能够得到理解，由 Hilbert 零点定理弱形式建立桥梁．因此，代数闭域和 Jacobson 环的特点都是 Hilbert 零点定理不可或缺的组成部分．

Remark (Hilbert Nullstellensatz over polynomial rings of infinite variables)

注记 (Hilbert Nullstellensatz over polynomial rings of infinite variables). TODO

References

[1]

M. F. Atiyah 和 I.G. Macdonald, Introduction To Commutative Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1969.