梦话集

Rambling Words

摘要

内容或包含医疗建议．

/newcommand{}{} /newcommand{}{} /newcommand{}{}

1 域，Galois，代数数论

• 有限扩张代数，单代数扩张有限，有限可分扩张单．

• Hilbert Nullstellensatz：有限生成 \(k\)-代数 \(A\) 是域，则扩张 \(A/k\) 有限．

• 代数闭正规，特征零可分．

• 正规的域扩张够大，包含所有代数元的共轭根．

• 可分的域扩张够细，扩域足够大就能将不同的根分离．

  • 因此在足够大的扩域上数嵌入数可以判定可分性．

• Galois 扩张有限可分正规，具有上述好根性质，故可用根的置换 / 自同构群刻画域的结构．

2 表示论

• 半单李代数的有限维复表示是半单的，正如诺特环的有限生成模也是诺特的．

  • 注意诺特环可以分解为连通分量的直积．

• 半单李代数都是 \(\mathfrak{sl}_2\) 粘成的．

2.1 内积

内积是 \(V \to V^*\) 的同构．

• 群表示论中：

  平均化搓出 \(G\)-不变内积，\(V \to V^*\) 是 \(G\)-共轭线性同构．用于半单性证明．

  \((V,W) \mapsto \dim \Hom_G(V,W)\) 是 \(G\)-表示 Grothendieck 群（作为 \(\mathbb Z\)-模）上的内积，Schur 定理给出了正交基，特征标是 Grothendieck 群的显式实现．

• 李代数表示论中是 Killing 型，\(V \to V^*\) 是 \(\mathfrak g\)-同构．

• 代数数论中是 \((x,y) \mapsto \operatorname{Tr}_{K/\mathbb Q}(xy)\)．用于定义 different ideal，判别式，构造对偶基，证明 \(\mathcal O_K\) 有限生成自由 \(\mathfrak Z\)-模．

• Hilbert 空间自反，\(H^*\) 与 \(H\) 共轭线性同构，Reisz 表示定理保证同构性．

2.2 \(q\)-deformation

• \[ \begin{matrix} [n] & n \\ P^{n-1} \mathbb F_q & [n]_q \end{matrix} \]

• \[ \begin{matrix} S_n & [n] \to [n] & n! \\ \PGL_n(\mathbb F_q) & P^{n-1} \mathbb F_q \to P^{n-1} \mathbb F_q & [n]_q! \end{matrix} \]

• \[ \begin{matrix} A_n & \ker(\operatorname{sgn}) \\ PSL_n(\mathbb F_q) & \ker(\det) \end{matrix} \]

• \[ \begin{matrix} G/B & \text{完全旗簇} & [n]_q! \\ [n] & \text{完全旗簇} & n! \end{matrix} \]