分析力学乱炖
1 速通
Newton 力学的基本假设是质点的运动服从 Newton 第二定律 \[ m \ddot{\vb* q} = -\pdv{U}{\vb* q} \] 这里 \(U(\vb* q)\) 是质点在位置 \(\vb* q\) 处的势能．物理学实践似乎表明这种形式下的力学方程长相往往比较丑陋，不易于守恒量的发现．考虑到光学中光路传播的最短路径原理具有优美统一的数学形式，物理学家们开始尝试将力学方程也写成某种变分原理的形式．这种尝试推动了 Lagrange 力学和 Hamilton 力学的发展，也最终将经典力学、光学和量子力学统一在同一框架下．
Lagrange 力学的核心作用量是 Lagrangian \[ \begin{aligned} L: \mathbb R \times T Q &\to \mathbb R \\ (t, \vb* q, \dot{\vb* q}) &\mapsto L(t, \vb* q, \dot{\vb* q}) \end{aligned} \] 这里 \(Q\) 是系统的构型空间（configuration space），\(T Q\) 是 \(Q\) 的切丛（tangent bundle）．在 Newton 力学中，我们取 \(Q = \mathbb R^3\)，并构造 Lagrangian 为动能减势能 \(L = \frac 1 2 m \dot{\vb* q}^2 - U(\vb* q)\)，这样 Lagrangian \(L\) 就是时间 \(t\)、位置 \(\vb* q\) 和速度 \(\dot{\vb* q}\) 的函数．
Lagrange 力学的基本假设是，物理系统的演化满足所谓的最小作用量原理——即粒子的运动路径 \(\vb* q(t)\) 应当使得 Lagrangian 沿其积分极小．数学上我们理解为吃进 \(\vb* q: [t_1, t_2] \to Q\)，吐出一个数的泛函 \[ J[\vb* q] = \int_{t_1}^{t_2} L(t, \vb* q, \dot{\vb* q}) \dd{t} \] 的变分 \(\var{J[\vb* q]}\) 应为零——即对任意路径上的扰动 \(\vb* \eta\)，有 \[ \fdv{J}{\vb* \eta} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac 1 \varepsilon \left( J[\vb* q + \varepsilon \vb* \eta] - J[\vb* q] \right) = 0 \] 使用一点分部积分和泛函分析的套话【TODO】，根据上述变分方程可以解出著名的 Euler–Lagrange 方程 \[ \pdv{t} \pdv{L}{\dot{\vb* q}} = \pdv{L}{\vb* q} \] 特别地，在 Newton 力学中，Euler–Lagrange 方程恰为 Newton 第二定律，因此我们认为 Lagrange 力学是 Newton 力学的推广——这个推广的核心是通过构造恰当的 Lagrangian 将 Newton 第二定律实现为最小作用量原理．
Hamilton 力学是 Lagrange 力学的某种对偶的“坐标变换”．通过对 Lagrange 量关于 \(\dot{\vb* q}\) 做 Legendre 变换【TODO】，我们得到 Hamiltonian \[ H(t, \vb* q, \vb* p) := \vb* p \vdot \dot{\vb* q} - L(t, \vb* q, \dot{\vb* q}) \] 这里 \(\vb* p := \pdv{L}{\dot{\vb* q}}\) 是（广义）动量．重点是，我们认为 Hamiltonian \(H\) 是时间 \(t\)、位置 \(\vb* q\) 和动量 \(\vb* p\) 的函数，而不再直接接受速度 \(\dot{\vb* q}\) 作为参数——定义里出现的 \(\dot{\vb* q}\) 应当根据 \(\vb* p = \pdv{L}{\dot{\vb* q}}\) 反解出来．\(\vb* q\) 和 \(\vb* p\) 构成的空间一般被称为相空间（phase space），数学这边则认为相空间是 \(Q\) 的余切丛（cotangent bundle）\(T^* Q\)【TODO】．
在 Newton 力学中，计算可得 \(H = \frac{\vb* p^2}{2m} + U(\vb* q)\)，即系统的总能量——事实上，Hamilton 量恰为系统的总能量的这一观察在其它系统中也往往也富有意义．
利用 Euler–Lagrange 方程，容易导出 Hamilton 方程 \[ \left\{ \begin{aligned} \dot{\vb* q} &= \pdv{H}{\vb* p} \\ \dot{\vb* p} &= -\pdv{H}{\vb* q} \end{aligned} \right. \] 对应于 Newton 力学中的 Newton 第二定律和 Lagrange 力学中的 Euler–Lagrange 方程，这是 Hamilton 力学中决定系统演化的基本方程．物理学实践似乎表明 Hamilton 方程的形式一般更简单，从而更容易发现守恒量．在 Newton 力学中，该方程写作 \[ \left\{ \begin{aligned} \dot{\vb* q} &= \frac{\vb* p}{m} \\ \dot{\vb* p} &= -\pdv{U}{\vb* q} \end{aligned} \right. \]
让我们以一种更有趣的方式写出 Hamilton 方程： \[ \pdv{t} \begin{pmatrix} \vb* q \\ \vb* p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \pdv{H}{\vb* q} \\ \pdv{H}{\vb* p} \end{pmatrix} \] 这使我们看到了 Hamilton 力学的辛结构【TODO】．
2 一些例子
2.1 Newton 力学
已经平行地介绍过了．
2.2 Kepler 定律
设力场中心在原点，位置用极坐标形式 \(\vb* q = r \hat{\vb* r} = (r \cos \theta, r \sin \theta)\) 表达．考察质量为 \(m\) 的质点在一中心力场 \(\vb* F(\vb* q) = \vb* F(r) \hat{\vb* r}\) 中运动的情形．我们知道中心力场一定是保守场【TODO】，因此存在仅与 \(r\) 有关的势能函数 \(U(r)\)．
我们首先构造 Lagrangian 为极坐标形式的动能减势能 \[ L(t, r, \theta, \dot{r}, \dot{\theta}) := \frac 1 2 m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U(r) \] 并写出 Euler–Lagrange 方程 \[ \left\{ \begin{aligned} m \ddot{r} &= m r \dot{\theta}^2 - \pdv{U}{r} \\ \dv{t} (m r^2 \dot{\theta}) &= 0 \end{aligned} \right. \] 我们观察到了一个守恒量 \(p_\theta := m r^2 \dot{\theta}\)！这正是角动量．不过另一个式子仍是一个难搞的二阶微分方程．
让我们转入 Hamilton 力学．根据套路定义广义动量 \[ \begin{aligned} p_r &:= \pdv{L}{\dot{r}} = m \dot{r} \\ p_\theta &:= \pdv{L}{\dot{\theta}} = m r^2 \dot{\theta} \end{aligned} \] 算出 Hamiltonian \[ H(t, r, \theta, p_r, p_\theta) = \frac{1}{2m} \left( p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} \right) + U(r) \] 上式与时间 \(t\) 无关．根据 Hamiltonian 的在 Newton 力学中的物理意义，我们得到了极坐标形式的机械能守恒．
写出 Hamilton 方程 \[ \left\{ \begin{aligned} \dot{r} &= \frac{p_r}{m} \\ \dot{\theta} &= \frac{p_\theta}{m r^2} \\ \dot{p}_r &= \frac{p_\theta^2}{m r^3} - \pdv{U}{r} \\ \dot{p}_\theta &= 0 \end{aligned} \right. \] 我们再次看到了角动量 \(p_\theta\) 守恒，且方程变得易于求解．剩下的事情是取 \(U(r) = -\frac{k}{r}\) 后嗯算积分【TODO】．
2.3 光学
光学中，光线的传播路径满足 Fermat 原理——即光线在两点间传播的路径使得光程（optical path length）极小．设空间中某点处的折射率为 \(n(\vb* r)\)，则光程定义为【TODO】