幻想数学香霖堂

Kourindou of Mathematics

Mathematical posts.
 

Why Algebraic Closures Possess NO Universal Property

Unique up to Isomorphism vs. Unique up to Unique Isomorphism
math
algebra
category-theory
rep-theory
A well-known remark on algebraic closures reads: “Algebraic closures do not possess a genuine universal property.” Few understand its actual meaning. At first sight, this is…
2026/08/13
en
 

诱导表示与 Mackey 不可约性定理

math
algebra
rep-theory
诱导表示给出了从子群的表示构造群表示的自然方法．本篇主要关注
2026/08/05
zh
 

The Bicategory of Bimodules, Tensor–Hom Adjunction, and Its Application to Frobenius Reciprocity

math
algebra
rep-theory
category-theory
The bicategory \(\mathsf{Bimod}\) consists of the following data:
2026/07/29
en
 

\(\Delta \implies \otimes\)

Comultiplication makes tensor product great again
math
algebra
In general, unlike group representations or Lie algebra representations, the tensor product of two representations of a generic associative algebra is not naturally a…
2026/04/20
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short
 

梦话集

Rambling Words
math

内容或包含医疗建议．

2026/04/19
zh
casual
 

Schur–Weyl 对偶

math
algebra
rep-theory
众所周知，设 \(G\) 是群，则对任意 \(G\) 的 \(n\) 维表示 \(V\)，\(V \otimes_{\mathbb C} V\) 都可以分解为子表示 \(\operatorname{Sym}^2 V\) 和 \(\operatorname{Alt}^2 V\) 的直和，其中
2026/04/19
zh
group-rep-tour
 

实轴可测集内的无内点有界闭子集

math
analysis
solution
例 1 设 \(E\) 是 \(\mathbb R\) 上的 Lebesgue 可测集，若 \(m(E) > a > 0\)，则存在无内点的有界闭集 \(F \subset E\) 使得 \(m(F)=a\)，其中 \(m(E)\) 指集合 \(E\) 的 Lebesgue 测度．
2026/04/17
zh
 

Jacobson–Morozov：\(\mathfrak{sl}_2\) 在复半单李代数中的嵌入

幂零锥和其上的几何：以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例
math
algebra
lie
我们在复半单李代数 \(\mathfrak g\) 中工作，并假设抽象 Jordan 分解、Killing 型和 Cartan 根空间分解理论已建立完毕．这一部分的标准参考是 [1, section 3.2–3.3]．
2026/04/10
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nilpcone

DVR–Dedekind 乱炖

一维 Noether 环的结构
math
algebra
commalg
上篇中对零维 Noether 环的结构做了详尽的分析，局部情形的主要结果如下：
2026/04/07
zh
 

幂零轨道的维数

幂零锥和其上的几何：以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例
math
algebra
lie
上篇介绍了幂零锥和幂零轨道的基本概念．本篇我们关心 \(\mathfrak{gl}_n\) 幂零锥和幂零轨道的维数情况．
2026/04/03
zh
nilpcone
 

An Intrinsic, Boilerplate-Free Definition of Affine Varieties

math
algebra
[1, definition 2.1.6] gives an intrinsic, boilerplate-free definition of affine varieties as follows (note our “variety” is not necessarily irreducible):
2026/04/01
en
short
 

Lie 定理

math
algebra
lie
关于 Lie 定理的简明证明．主要参考 [1, Sec. 1.2]．
2026/03/31
en
short
 

置换速算技巧

math
algebra
左乘 \(\sigma \mapsto g \sigma\)：
2026/03/26
zh
short
 

\(\mathfrak{gl}_n\)，幂零轨道与支配序

幂零锥和其上的几何：以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例
math
algebra
lie
我们面向了解仿射簇、代数群、李代数但尚不熟练的读者，从相对具体的 \(\mathfrak{gl}_n\) 或 \(\mathfrak{sl}_n\) 切入，入门友好地为李代数上幂零锥的几何提供一些感觉．
2026/03/21
zh
nilpcone
 

有限群复表示论速通

A Quick Tour of the Representation Theory of Finite Groups over \(\mathbb C\)
math
algebra
rep-theory

参考 Fulton–Harris [@fulton_representation_2004, {chapter 1--2}]，优雅、迅速、坐标无关地完成有限群有限维复表示论的入门．

2026/03/15
zh
group-rep-tour
 

有限群表示论：Peter–Weyl 定理

math
algebra
rep-theory
有限群表示论的一个经典结果是正则表示的分解： \[ \mathbb C[G] \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus \dim V_i} \] 这里 \(\mathbb C[G]\) 是群 \(G\) 的群代数，\(V_i\) 是 \(G\) 的全体不可约表示．这只是个左 \(\mathbb C[G]\)-模的分解：\(\ma…
2026/03/14
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group-rep-tour
 

三句话证明迹的循环不变性

math
algebra
如题，今天是 \(\pi\) day，我们三句话为迹的循环不变性 \[ \operatorname{Tr}(ABC) = \operatorname{Tr}(BCA) = \operatorname{Tr}(CAB) \] 提供一种圆润的理解．接受这一理解的前置条件是掌握自然同构 \(\operatorname{Hom}(V,W) \cong…
2026/03/14
zh
short
 

Spec，可约与连通性

math
algebra
commalg
本文中环均为交换幺环．
2026/02/27
zh
short
 

Comparing Free Modules via Homomorphisms

math
algebra
commalg
We discuss some well-known results that compare finitely-generated free modules via homomorphisms. Let \(R\) be a nonzero commutative ring with \(1\).
2026/02/25
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short

Selected solutions to Atiyah-Macdonald’s exercises

math
algebra
commalg

A non-comprehensive collection of solutions to Atiyah-Macdonald’s exercises, with some additional comments and discussions. There may be errors, for reference only.

2025/12/18
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透镜成像乱炖

math
physics

基于 Fermat 原理和 Snell 定律的双面薄透镜成像公式推导．

2025/12/18
zh
short
 

代数批如何理解 Einstein 求和约定

Einstein summation for confused algebraists
math
algebra
geometry
physics
统一、自洽与简洁的记号体系是数学的应有之义．大部分数学方向都已经发展出了一套相对完备的记号体系——但遗憾的是，有的方向的记号非常不巧地和其他学科的外来物种杂交在了一起，使得不同背景的使用者对同一记号的理解大相径庭．我们今天辨析的 Einstein 求和约定（Einstein summation convention） 就似乎深受其害：物理学家们习…
2025/11/06
zh
 

分析力学乱炖

math
analysis
physics
Newton 力学的基本假设是质点的运动服从 Newton 第二定律 \[ m \ddot{\vb* q} = -\pdv{U}{\vb* q} \] 这里 \(U(\vb* q)\) 是质点在位置 \(\vb* q\) 处的势能．物理学实践似乎表明这种形式下的力学方程长相往往比较丑陋，不易于守恒量的发现．考虑到光学中光路传播的最短路径原理具有优…
2025/09/21
zh
 

零点定理乱炖

Suspicious Nullstellensatz Soup
math
algebra
commalg

On Hilbert’s Nullstellensatz and the ideal–variety correspondence.

2025/08/12
zh

Artin–Noether 乱炖

零维 Noether 环的结构
math
algebra
commalg
本文所指环均为交换幺环．我们重新编排一下 [1, chapter 8] 的顺序，开发以下著名的 Artin 环等价刻画的证明：
2025/08/01
zh
 

Factorials and Integer Partitions

math
combinatorics
Factorials are commonly seen in combinatorics, and today we talk about some variants of them related to integer partitions. Recall that if one wish to count the number of…
2025/06/15
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short
 

对称群的复不可约表示

math
algebra
combinatorics
rep-theory
我们简明快速地完成对称群的复不可约表示的分类．本文主要微调自 [1, section 4.2]，亦少量参考 [2, chapter 2]．推荐读者阅读前熟悉群的复表示的基本常识 [1, chapter 1–2] 和群代数模的观点．
2025/06/08
zh
group-rep-tour
 

推广的 Cayley-Hamilton 定理及其应用

math
algebra
线性代数中的 Cayley-Hamilton 定理指出，域 \(K\) 上线性变换 \(\varphi\) 的特征多项式 \(f(\lambda) = \det(\lambda I_n - \Phi)\) 是它的一个零化多项式，这里 \(\Phi \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(K)\) 是 \(\varp…
2025/06/04
zh
short

神奇流形在哪里

Fantastic Manifolds and Where to Find Them
math
geometry
\[ \gamma(t) := (e^{2\pi i t}, e^{2 \pi i \alpha t}) \] is an \(\mathbb R \to \mathbb T^2 \subset \mathbb C^2\) immersion (Note that it’s injective!). The corresponding…
2025/06/02
 

有限群表示的 Maschke 定理是分裂模正合列的提升

math
algebra
所谓 Maschke 定理，是指有限群表示的半单（可完全分解）性．可以考虑如下正合列风格的理解．设 \(G\) 是有限群，\(K\) 是特征不为 \(|G|\) 的域，\(K[G]\) 是 \(G\) 的群代数；\(V\) 是 \(K[G]\)-模，\(U\) 为 \(V\) 的子模．我们有 \(K[G]\)-模正合列 \[ 0 \to U…
2025/05/25
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short
 

On Determining Prime Spectra of Some Coordinate Rings

with Applications to the Two Squares Theorem
math
algebra
commalg

Thanks to the powerful tools borrowed from commutative algebra, we show a general approach to determine the prime spectra of some coordinate rings by examples. As we determine the spectrum of the Gaussian integers, a proof of the famous two squares theorem emerges without tricky techniques.

2025/05/16
en
 

On the Number of 3-Part Stable Partitions of the Half Graph

math
combinatorics
solution
Disclaimer: Results below are original and not formally verified. Stay sharp for potential mistakes.
2025/05/04
en
 

Classification of Quadratic Forms over \(\mathbb Q\)

math
algebra
number theory
talks

A reading guidance of the first part of J. P. Serre’s A Course in Arithmetic

2025/04/16
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【BICMR 怀新一题】人偶之舞 题解

math
analysis
number theory
solution
例 1 寻找各人偶速度 \(v_1,\dots,v_m \in \mathbb R / \mathbb Z\)，使得对任意的人偶起始位置 \(a_1,\dots,a_m \in \mathbb R / \mathbb Z\)，存在数列 \(N_k \subseteq \mathbb N\) 使得 Shanghai 人偶旋转 \(N_k\) 圈后，…
2025/01/17
zh

【ICPC 2024 Regional 昆明热身赛 D】LCA Determinant 题解

math
algorithm
combinatorics
original problem
solution
热身赛 D 供题人．原题出自 2023 年 BIT 校赛 H，非常荣幸被组题人收入热身赛供大家把玩．看到很多人对题目背后的动机感兴趣，也把题解放到这里，趁机聊聊此类行列式背后的技巧和理论．
2024/11/30
zh

原根、原根存在定理和模 m 剩余类环的乘法结构

math
algebra
number theory

应用代数工具，对模 \(m\) 剩余类环 \(\mathbb Z / m \mathbb Z\) 的乘法结构做出流畅的刻画，作为推论导出原根存在定理．面向有朴素抽象代数基础的 OI/XCPC 算法竞赛选手和学习过本科抽象代数课程的同学．

2024/09/22
zh
 

代数同构视角下的离散 Fourier 变换

多项式环、求值插值与相似对角化
math
algebra
talks
Fourier 变换：将给定函数 \(f\) 映为函数 \(\mathcal F[f]\)： \[ \mathcal F[f](\lambda) := \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{- \mathrm{i}\lambda t} \operatorname{d}\!t \]
2024/05/13
zh

矩阵代数的 Burnside 定理

math
algebra

我们详细重述并证明 Simultaneous Triangularization (H. Radjavi and P. Rosenthal) 中的 Burnside 定理及其相关推论．

2024/01/21
 

一元多项式的 Delta 判别式

math
algebra
combinatorics
talks
设非负整数数列 \(\boldsymbol\lambda := (\lambda_1, \lambda_2, \dots)\) 只有有限项非零且（不严格）单调递减．定义长度 \(\mathcal L(\boldsymbol\lambda)\) 为其非零项元素个数；定义 \(\mathcal S(\boldsymbol\lambda)\) 为其非零…
2023/10/18
zh
 

A Convolution-Oriented FFT Tutorial

for OI/XCPC participants and algebra enthusiasts
algorithm
math
talks
初步要求
2023/08/01
zh
 

算法 & 数学碎碎念

algorithm
math
combinatorics

现场赛公式模板库，亦可作为小而精的总结性学习材料参考．无需单独成文或暂不完善的内容会放在这里．

2023/06/21
zh
 

Hilbert 曲线与集合势理论

math
topology
talks
（我们所讨论的）曲线：定义域为 \([0,1]\) 的连续映射．
2023/05/18
 

Wallis 公式、Stirling 公式与正态分布

math
analysis
probability
talks

以及双阶乘、中心二项式系数、Catalan 数的渐进估计和 Poisson 分布．

2023/04/23
 

一些数论算法的时间复杂度分析

algorithm
math
number theory
analysis

OI/XCPC 常见算法为主，渐进符号、约数函数、整除分块嵌套与杜教筛．

2023/04/18
 

str 学数学 题解

algorithm
math
number theory
solution

挺有意思的一道数学题。

2023/02/13
 

有限覆盖定理与实数理论

math
analysis
talks
为更好的证明本题，先引入 Bolzano-Weierstrass 定理的一种等价表述.
2022/12/13
 

关于泰勒展开拉格朗日余项中值点的渐进性

math
analysis
solution

中科大《数学分析教程》第三版问题 4.3.1

2022/11/02
 

从台体的体积公式谈起

math

一些探究，一个证明，以及幂函数求导之类的玩意儿。

2022/03/27
 

从不定方程的非负整数解个数谈起

algorithm
math
combinatorics

组合意义、Vandermonde 卷积、杨辉三角、生成函数、广义二项式定理、Burnside(Polya) 以及第一类斯特林数，你从未见过的全新解法。

2021/05/01
 

原创OI题目 GCD卷积 Problem and Solution

algorithm
math
combinatorics
original problem
solution
比赛用题面、题解、标程和数据生成器均已挂在 git@github.com:sun123zxy/gcdconv.git 上。
2020/12/06
 

树的解构 题解

algorithm
probability
math
solution

一道并不是特别难但没有切掉的期望题。

2020/11/27
 

CodeChef-RNDRATIO Mysterious Ratio 题解

algorithm
math
number theory
solution

积性函数推式子纪念题。

2020/11/16
 

关于矩阵乘法结合律的证明

algorithm
math
upd 2021/08/13:
2020/06/06

等价类计数：Burnside引理 & Polya定理

algorithm
math
combinatorics
algebra

《同分异构体计数从入门到精通》（不是）

2020/03/21
 

约数个数函数的一个性质证明，以及其推广

algorithm
math
number theory

关于 (d(AB) = {x|A} {y|B} [(x,y) = 1]) 的一系列推导。

2020/02/20

浅析一类要求相邻不同的环上染色问题

algorithm
math
combinatorics
solution

一类神烦的dp边界题。

2020/02/04
 

中国剩余定理（CRT）及其扩展（ExCRT）

algorithm
math
number theory
给定 \(n\) 个同余方程
2019/12/21
 

扩展欧几里得算法（ExGCD）

algorithm
math
ExGCD用于求解不定方程
2019/12/21
 

bsoj5988 [Achen模拟赛]期望 题解

algorithm
math
number theory
combinatorics
solution

“套着期望皮的容斥题。”

2019/12/18

涂色游戏 题解

algorithm
math
combinatorics
probability
solution

容斥、二项式反演、minmax容斥和树形dp，人类智慧神题。

2019/12/09

[JZOJ A组]球 题解

algorithm
math
combinatorics
probability
solution
首先看到\(10^7\)的数据和仅有2个参数的较多询问，马上想到这是一道和预处理阶乘有关的题。
2019/10/12
 

由 [SDOI2012]Longge的问题 探讨欧拉函数和莫比乌斯函数的一些性质和关联

algorithm
math
number theory
solution
题目传送门：https://www.luogu.org/problem/P2303
2019/09/22
 

洛谷P5364 [SNOI2017]礼物 题解

algorithm
math
combinatorics
solution

求 (A_1 = 1,A_n = _{i=1}^{n-1} A_i + n^k) 的通项公式。

2019/07/01
No matching items

危险度：低

遭遇的妖怪：各种各样

这间老旧的书铺坐落在人类村落通往魔法森林的小路上。店铺的外观并不显眼，除非注意力不在路上，否则很容易错过。门口挂着一块木牌，上面似乎写着几个字，但已经被风雨侵蚀得模糊不清了。这里的店主似乎不是很关心生意。

令人感兴趣的东西有很多，但大多数都没有标价。想要的的话，就必须和店主交涉。店里没有整齐的书架，甚至少有装订完整的书籍。书页散落在地上，墙壁上贴满了各种箭头和图表，还有一些用粉笔写在地板上的字迹。有一些外面世界的书籍被带进来，但缺页漏页严重——没头没尾的话也不知道怎么看，结果还是卖不出去。

店主其名不详，为人有些奇怪，无论对人还是妖怪一律平等接待。话说回来，他本身就是半人半妖，不袭击人类的话，妖怪也不会袭击他 1。

1 也许是因为他那不理人的性格。

从人类村落到这里有一段距离，书铺附近也会有妖怪出没。不过，比起这方面的危险，多准备一点有趣的谈资吧。店主一旦聊起来，不打断的话，会说很久的。

目击者报告

有人说店主是收藏家，商品都是不卖的。