实轴可测集内的无内点有界闭子集
证明. 这里给出的构造是所谓的 fat Cantor set．由于 \(\alpha < L\)，我们可以先在 \(I\) 内取一个闭区间 \(J = [a_0, b_0] \subset (c, d)\)，使得其长度 \(L_0 = b_0 - a_0\) 满足 \(\alpha < L_0 < L\)．注意这相当于在 \(I\) 的两端各挖去 \((c, a_0)\) 和 \((b_0, d)\) 两个开区间．
现在需要再在 \(J\) 中挖去总长度为 \(\beta = L_0 - \alpha > 0\) 的开区间．
第 1 步：从 \(J\) 的正中间挖去一个长度为 \(\frac{\beta}{2}\) 的开区间．剩下两个互不相交的闭区间，记它们的并集为 \(C_1\)．此时 \(m(C_1) = L_0 - \frac{\beta}{2}\)．
第 \(n\) 步：经过 \(n-1\) 步后，剩下 \(2^{n-1}\) 个互不相交的闭区间（它们的并集记为 \(C_{n-1}\)）．我们从这 \(2^{n-1}\) 个闭区间的每一个的正中间，挖去一个长度为 \(\frac{\beta}{2^n \cdot 2^{n-1}} = \frac{\beta}{2^{2n-1}}\) 的开区间． 在第 \(n\) 步中，总共挖去的长度为 \(2^{n-1} \times \frac{\beta}{2^{2n-1}} = \frac{\beta}{2^n}\)． 记剩下的 \(2^n\) 个闭区间的并集为 \(C_n\)．
令 \(C = \bigcap_{n=1}^\infty C_n\)．其具有如下性质：
\(C\) 是 \(I\) 挖掉可数个开区间剩下的部分，包括两头挖去的开区间和每一步挖去的开区间．
闭集且有界：因为每一个 \(C_n\) 都是有界闭集，而 \(C\) 是它们的交，故为有界闭集．
测度：因为 \(C_1 \supset C_2 \supset \cdots\)，由测度连续性，\(m(C) = \lim_{n\to\infty} m(C_n)\)．故 \[ m(C) = L_0 - \sum_{n=1}^\infty \frac{\beta}{2^n} = L_0 - \beta \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = L_0 - \beta = \alpha \]
无内点：即证明 \(C\) 不能包含开区间．在第 \(n\) 步后，\(C_n\) 由 \(2^n\) 个闭区间组成，其总长度小于 \(L_0\)．因此，其中每个闭区间长度都小于 \(\frac{L_0}{2^n}\)．随着 \(n \to \infty\)，构成 \(C_n\) 的闭区间长度趋于 \(0\)．但任何开区间都有大于 \(0\) 的长度，因此不可能包含在 \(C\) 中．故 \(C\) 无内点．
故 \(C\) 就是我们想要的集合．
证明 (例 1 的证明). 已知 \(E\) 是可测集，且 \(m(E) > a > 0\)．根据 Lebesgue 测度的内正则性，存在紧集（有界闭集） \(K \subset E\)，使得 \(m(E) \geq m(K) > a\)．由于 \(K\) 有界，\(m(K) < +\infty\)．记 \(O\) 是 \(K\) 的内部，\(\partial K = K \setminus O\) 是 \(K\) 的边界．注意 \(O\) 是开集；\(\partial K\) 是有界闭集（紧集）；\(\partial K\) 无内点；\(m(K) = m(\partial K) + m(O)\)．
考虑分情况讨论如何从 \(K\) 中取出测度恰好为 \(a\) 的无内点闭集 \(F\)．
情况 1：\(m(\partial K) \ge a\)：
此时我们不需要使用开区间 \(I_n\)．定义函数 \(f(x) = m(\partial K \cap [-x, x])\)，则 \(f(x)\) 是关于 \(x\) 的连续函数，且 \(f(0)=0\)，\(\lim_{x\to+\infty} f(x) = m(\partial K) \ge a\)． 由介值定理，必定存在 \(R > 0\)，使得 \(f(R) = a\)． 令 \(F = \partial K \cap [-R, R]\)． 由于 \(F\) 是 \(\partial K\) 的闭子集，它当然是有界闭集，且包含于 \(E\) 中，测度为 \(a\)．又因为它包含于无内点的 \(\partial K\) 中，所以 \(F\) 也无内点．因此 \(F\) 满足题目要求．
情况 2：\(m(\partial K) < a\)：
此时我们使用全部 \(\partial K\) 的同时还需要从 \(O\) 中借一部分测度．记需要补充的测度为 \(\Delta = a - m(\partial K) > 0\)．因为 \(O\) 是开集，所以 \(O\) 可以表示为可列个开区间的并 \(O = \bigsqcup_{n=1}^\infty I_n\)．记比例常数 \(\rho = \frac{\Delta}{m(O)}\)，它满足 \(0 < \rho < 1\)．对于每一个开区间 \(I_n\)，我们指定其目标测度为 \(d_n = \rho \cdot m(I_n)\)．这样就可利用 引理 1，对于每个开区间 \(I_n\) 及其目标测度 \(d_n\)，构造出 \(I_n\) 内的有界闭集 \(D_n \subset I_n\) 使得 \(D_n\) 无内点且测度 \(m(D_n) = d_n\)．取 \(D = \bigsqcup_{n=1}^\infty D_n\)，则 \[ m(D) = \sum_{n=1}^\infty m(D_n)= \sum_{n=1}^\infty \rho m(I_n)= \rho m(O)= \Delta \] 取 \(F = \partial K \cup D\)，其满足：
有界且包含于 \(O\) 中：平凡．
测度：\(m(F) = m(\partial K) + m(D) = m(\partial K) + \Delta = a\)．
闭：考虑到 \(D_n\) 在 引理 1 的构造，每个 \(D_n\) 都是由 \(I_n\) 挖去可数个开区间得到，故 \(F\) 其实是有界闭集 \(K\) 挖去可数个开区间剩下的部分（对每个 \(I_n\) 都挖去了其中可数个开区间），因此 \(F\) 是闭集．
故 \(F\) 满足题目要求．