幻想数学香霖堂

Kourindou of Mathematics

Mathematical posts.
 

对称群的复不可约表示

math
algebra
combinatorics
我们尽可能简明快速地完成对称群的复不可约表示的分类．本文主要微调自 [1, section 4.2]，亦少量参考 [2, chapter 2]．推荐读者阅读前熟悉群的复表示的基本常识 [3, chapter 1–2] 和群代数模的观点．
2025/06/08
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推广的 Cayley-Hamilton 定理及其应用

math
algebra
线性代数中的 Cayley-Hamilton 定理指出，域 \(K\) 上线性变换 \(\varphi\) 的特征多项式 \(f(\lambda) = \det(\lambda I_n - \Phi)\) 是它的一个零化多项式，这里 \(\Phi \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(K)\) 是 \(\varp…
2025/06/04
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有限群表示的 Maschke 定理是分裂模正合列的提升

math
algebra
所谓 Maschke 定理，是指有限群表示的半单（可完全分解）性．可以考虑如下正合列风格的理解．设 \(G\) 是有限群，\(K\) 是特征不为 \(|G|\) 的域，\(K[G]\) 是 \(G\) 的群代数；\(V\) 是 \(K[G]\)-模，\(U\) 为 \(V\) 的子模．我们有 \(K[G]\)-模正合列 \[ 0 \to U…
2025/05/25
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On Determining Prime Spectra of Some Coordinate Rings

with Applications to the Two Squares Theorem
math
algebra

Thanks to the powerful tools borrowed from commutative algebra, we show a general approach to determine the prime spectra of some coordinate rings by examples. As we determine the spectrum of the Gaussian integers, a proof of the famous two squares theorem emerges without tricky techniques.

2025/05/16
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On the Number of 3-Part Stable Partitions of the Half Graph

math
combinatorics
solution
Disclaimer: Results below are original and not formally verified. Stay sharp for potential mistakes.
2025/05/04
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Classification of Quadratic Forms over \(\mathbb Q\)

math
algebra
number theory
talks

A reading guidance of the first part of J. P. Serre’s A Course in Arithmetic

2025/04/16
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【BICMR 怀新一题】人偶之舞 题解

math
analysis
number theory
solution
例 1 寻找各人偶速度 \(v_1,\dots,v_m \in \mathbb R / \mathbb Z\)，使得对任意的人偶起始位置 \(a_1,\dots,a_m \in \mathbb R / \mathbb Z\)，存在数列 \(N_k \subseteq \mathbb N\) 使得 Shanghai 人偶旋转 \(N_k\) 圈后，…
2025/01/17
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【ICPC 2024 Regional 昆明热身赛 D】LCA Determinant 题解

math
algorithm
combinatorics
original problem
solution
热身赛 D 供题人．原题出自 2023 年 BIT 校赛 H，非常荣幸被组题人收入热身赛供大家把玩．看到很多人对题目背后的动机感兴趣，也把题解放到这里，趁机聊聊此类行列式背后的技巧和理论．
2024/11/30
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原根、原根存在定理和模 m 剩余类环的乘法结构

math
algebra
number theory

应用代数工具，对模 \(m\) 剩余类环 \(\mathbb Z / m \mathbb Z\) 的乘法结构做出流畅的刻画，作为推论导出原根存在定理．面向有朴素抽象代数基础的 OI/XCPC 算法竞赛选手和学习过本科抽象代数课程的同学．

2024/09/22
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代数同构视角下的离散 Fourier 变换

多项式环、求值插值与相似对角化
math
algebra
talks
Fourier 变换：将给定函数 \(f\) 映为函数 \(\mathcal F[f]\)： \[ \mathcal F[f](\lambda) := \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{- \mathrm{i}\lambda t} \operatorname{d}\!t \]
2024/05/13
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矩阵代数的 Burnside 定理

math
algebra

我们详细重述并证明 Simultaneous Triangularization (H. Radjavi and P. Rosenthal) 中的 Burnside 定理及其相关推论．

2024/01/21
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一元多项式的 Delta 判别式

math
algebra
combinatorics
talks
设非负整数数列 \(\boldsymbol\lambda := (\lambda_1, \lambda_2, \dots)\) 只有有限项非零且（不严格）单调递减．定义长度 \(\mathcal L(\boldsymbol\lambda)\) 为其非零项元素个数；定义 \(\mathcal S(\boldsymbol\lambda)\) 为其非零…
2023/10/18
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A Convolution-Oriented FFT Tutorial

for OI/XCPC participants and algebra enthusiasts
algorithm
math
talks
初步要求
2023/08/01
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算法 & 数学碎碎念

algorithm
math
combinatorics

现场赛公式模板库，亦可作为小而精的总结性学习材料参考．无需单独成文或暂不完善的内容会放在这里．

2023/06/21
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Hilbert 曲线与集合势理论

math
topology
talks
（我们所讨论的）曲线：定义域为 \([0,1]\) 的连续映射．
2023/05/18
 

Wallis 公式、Stirling 公式与正态分布

math
analysis
probability
talks

以及双阶乘、中心二项式系数、Catalan 数的渐进估计和 Poisson 分布．

2023/04/23
 

一些数论算法的时间复杂度分析

algorithm
math
number theory
analysis

OI/XCPC 常见算法为主，渐进符号、约数函数、整除分块嵌套与杜教筛．

2023/04/18
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str 学数学 题解

algorithm
math
number theory
solution

挺有意思的一道数学题。

2023/02/13
 

有限覆盖定理与实数理论

math
analysis
talks
为更好的证明本题，先引入 Bolzano-Weierstrass 定理的一种等价表述.
2022/12/13
 

关于泰勒展开拉格朗日余项中值点的渐进性

math
analysis
solution

中科大《数学分析教程》第三版问题 4.3.1

2022/11/02
 

从台体的体积公式谈起

math

一些探究，一个证明，以及幂函数求导之类的玩意儿。

2022/03/27
 

从不定方程的非负整数解个数谈起

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math
combinatorics

组合意义、Vandermonde 卷积、杨辉三角、生成函数、广义二项式定理、Burnside(Polya) 以及第一类斯特林数，你从未见过的全新解法。

2021/05/01
 

原创OI题目 GCD卷积 Problem and Solution

algorithm
math
combinatorics
original problem
solution
比赛用题面、题解、标程和数据生成器均已挂在 git@github.com:sun123zxy/gcdconv.git 上。
2020/12/06
 

树的解构 题解

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probability
math
solution

一道并不是特别难但没有切掉的期望题。

2020/11/27
 

CodeChef-RNDRATIO Mysterious Ratio 题解

algorithm
math
number theory
solution

积性函数推式子纪念题。

2020/11/16
 

关于矩阵乘法结合律的证明

algorithm
math
upd 2021/08/13:
2020/06/06

等价类计数：Burnside引理 & Polya定理

algorithm
math
combinatorics
algebra

《同分异构体计数从入门到精通》（不是）

2020/03/21
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约数个数函数的一个性质证明，以及其推广

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math
number theory

关于 (d(AB) = {x|A} {y|B} [(x,y) = 1]) 的一系列推导。

2020/02/20

浅析一类要求相邻不同的环上染色问题

algorithm
math
combinatorics
solution

一类神烦的dp边界题。

2020/02/04
 

中国剩余定理（CRT）及其扩展（ExCRT）

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math
number theory
给定 \(n\) 个同余方程
2019/12/21
 

扩展欧几里得算法（ExGCD）

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math
ExGCD用于求解不定方程
2019/12/21
 

bsoj5988 [Achen模拟赛]期望 题解

algorithm
math
number theory
combinatorics
solution

“套着期望皮的容斥题。”

2019/12/18

涂色游戏 题解

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math
combinatorics
probability
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容斥、二项式反演、minmax容斥和树形dp，人类智慧神题。

2019/12/09

[JZOJ A组]球 题解

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math
combinatorics
probability
solution
首先看到\(10^7\)的数据和仅有2个参数的较多询问，马上想到这是一道和预处理阶乘有关的题。
2019/10/12
 

由 [SDOI2012]Longge的问题 探讨欧拉函数和莫比乌斯函数的一些性质和关联

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math
number theory
solution
题目传送门：https://www.luogu.org/problem/P2303
2019/09/22
 

洛谷P5364 [SNOI2017]礼物 题解

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math
combinatorics
solution

求 (A_1 = 1,A_n = _{i=1}^{n-1} A_i + n^k) 的通项公式。

2019/07/01
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危险度：低

遭遇的妖怪：各种各样

在幻想乡的某个角落，介于人类村落与魔法森林之间，有一间堆满古怪书籍的店铺。

寻常人类不会注意到这间店铺，只有少数妖怪和魔法使才了解它的存在。即便如此，店铺本身也经常莫名不知所踪，过几天后又无事发生一般原地出现 1——这里的店主似乎对此事漠不关心。

1 据称是隙间妖怪所为。

令人感兴趣的东西有很多，但大多数都没有标价。想要的的话，就必须和店主交涉。店里没有整齐的书架，甚至少有装订完整的书籍。书页散落在地上，墙壁上贴满了各种公式和图表，还有一些用粉笔写在地板上的推导过程。有一些外面世界的书籍被带进来，但缺页漏页严重，也不知道怎么用。还有些书据说出自店主之手，但大部分写一半就搁置了，下次补完不知要待何时。因为好多书都看不懂，结果还是卖不出去。

店主其名不详，为人有些奇怪，无论对人还是妖怪一律平等接待。话说回来，他本身就是半人半妖，不袭击人类的话，妖怪也不会袭击他 2。

2 也许是因为他那不理人的性格。

从人类村落到这里有一段距离，那里也会有妖怪出没。不过，比起这方面的危险，更多地提升一下自己的数学水平吧。店主一旦聊起来，不打断的话，会说很久的。

目击者报告

有人说店主是收藏家，商品都是不卖的。

偶尔也会混入一些算法相关的资料。

没写完是想卖给谁啊……