废液缸

Academic Waste

Drafts WIP and shelved writings.

A Table of Lie Groups and Lie Algebras

math

algebra

非结合代数括号制造艺术

TAOCP: The Art of Creating Parentheses

math

algebra

combinatorics

二元运算接受两个输入，输出一个结果．如果我们有多个输入，就需要使用括号来明确运算顺序．例如，给定四个元素 \(a, b, c, d\)，可以有以下五种不同的括号方式： \[ ((ab)c)d \quad (a(bc))d \quad (ab)(cd) \quad a((bc)d) \quad a(b(cd)) \]

分析力学乱炖

math

analysis

physics

Newton 力学的基本假设是质点的运动服从 Newton 第二定律 \[ m \ddot{\vb* q} = -\pdv{U}{\vb* q} \] 这里 \(U(\vb* q)\) 是质点在位置 \(\vb* q\) 处的势能．物理学实践似乎表明这种形式下的力学方程长相往往比较丑陋，不易于守恒量的发现．考虑到光学中光路传播的最短路径原理具有优…

零点定理乱炖

Suspicious Nullstellensatz Soup

math

algebra

On Hilbert’s Nullstellensatz and the ideal–variety correspondence.

Artin–Rees–Krull 乱炖

Artin–Rees Lemma and Krull Intersection Theorem

math

algebra

本文所指环均为交换幺环．Krull 交定理刻画了 Noether 环中任意理想幂次组成的降链的极限形态：

DVR 乱炖

math

algebra

当局部 Noether 环 \(A\) 的极大理想 \(\mathfrak m\) 是主理想时，\(A\) 的理想结构将变得异常简单．

Artin–Noether 乱炖

On the commutative Akizuki–Hopkins–Levitzki Theorem

math

algebra

交换幺环 Artinian 等价于零维 Noetherian．

从一般线性群 \(\operatorname{GL}_n(\mathbb F_q)\) 的 Sylow \(p\)-子群谈起

Rambling from the Sylow \(p\)-subgroups of the General Linear Group \(\operatorname{GL}_n(\mathbb F_q)\)

math

algebra

设 \(p\) 为素数，\(q = p^\alpha\)．我们引入一点先进的 \(q\)-analog 记号： \[ \begin{aligned}[] [n]_q &:= \frac{q^n - 1}{q - 1} = q^{n-1} + q^{n-2} + \cdots + q + 1 \\ [n]_q! &:=…

诱导表示乱炖

math

algebra

在日常生产生活中，我们经常需要将一个群表示从一个子群扩展到整个群．在所有可能的选择中，诱导表示是最自然的一种．

神奇流形在哪里

Fantastic Manifolds and Where to Find Them

math

geometry

\[ \gamma(t) := (e^{2\pi i t}, e^{2 \pi i \alpha t}) \] is an \(\mathbb R \to \mathbb T^2 \subset \mathbb C^2\) immersion (Note that it’s injective!). The corresponding…