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Short expository notes to capture insights.

透镜成像乱炖

math
physics
光学中，光线的传播路径满足 Fermat 原理——即光线在两点间传播的路径使得光程（optical path length）极小．折射定律（Snell’s Law）可以由同介质中光线直线传播，并移动交界点求导算得 \[ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \] 这里 \(n_1, n_2\) 分别是两介质的…
2025/12/18
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Factorials and Integer Partitions

math
combinatorics
Factorials are commonly seen in combinatorics, and today we talk about some variants of them related to integer partitions. Recall that if one wish to count the number of…
2025/06/15
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诱导表示乱炖

math
algebra
在日常生产生活中，我们经常需要将一个群表示从一个子群扩展到整个群．在所有可能的选择中，诱导表示是最自然的一种．[1]
2025/06/07
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推广的 Cayley-Hamilton 定理及其应用

math
algebra
线性代数中的 Cayley-Hamilton 定理指出，域 \(K\) 上线性变换 \(\varphi\) 的特征多项式 \(f(\lambda) = \det(\lambda I_n - \Phi)\) 是它的一个零化多项式，这里 \(\Phi \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(K)\) 是 \(\varp…
2025/06/04
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有限群表示的 Maschke 定理是分裂模正合列的提升

math
algebra
所谓 Maschke 定理，是指有限群表示的半单（可完全分解）性．可以考虑如下正合列风格的理解．设 \(G\) 是有限群，\(K\) 是特征不为 \(|G|\) 的域，\(K[G]\) 是 \(G\) 的群代数；\(V\) 是 \(K[G]\)-模，\(U\) 为 \(V\) 的子模．我们有 \(K[G]\)-模正合列 \[ 0 \to U…
2025/05/25
zh
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