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Short expository notes to capture insights.
 

代数批如何理解 Einstein 求和约定

Einstein summation for confused algebraists
math
algebra
geometry
physics
统一、自洽与简洁的记号体系是数学的应有之义．大部分数学方向都已经发展出了一套相对完备的记号体系——但遗憾的是，有的方向的记号非常不巧地和其他学科的外来物种杂交在了一起，使得不同背景的使用者对同一记号的理解大相径庭．我们今天辨析的 Einstein 求和约定（Einstein summation convention） 就似乎深受其害：物理学家们习…
2025/11/06
zh
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Factorials and Integer Partitions

math
combinatorics
Factorials are commonly seen in combinatorics, and today we talk about some variants of them related to integer partitions. Recall that if one wish to count the number of…
2025/06/15
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推广的 Cayley-Hamilton 定理及其应用

math
algebra
线性代数中的 Cayley-Hamilton 定理指出，域 \(K\) 上线性变换 \(\varphi\) 的特征多项式 \(f(\lambda) = \det(\lambda I_n - \Phi)\) 是它的一个零化多项式，这里 \(\Phi \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(K)\) 是 \(\varp…
2025/06/04
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有限群表示的 Maschke 定理是分裂模正合列的提升

math
algebra
所谓 Maschke 定理，是指有限群表示的半单（可完全分解）性．可以考虑如下正合列风格的理解．设 \(G\) 是有限群，\(K\) 是特征不为 \(|G|\) 的域，\(K[G]\) 是 \(G\) 的群代数；\(V\) 是 \(K[G]\)-模，\(U\) 为 \(V\) 的子模．我们有 \(K[G]\)-模正合列 \[ 0 \to U…
2025/05/25
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