有限群表示论速通
A Quick Tour of the Representation Theory of Finite Groups
设 \(G\) 是有限群，\(V\) 是（有限维的）\(\mathbb C\)-线性空间，则群同态 \(\rho: G \to \operatorname{GL}(V)\) 规定了一个 \(G\) 的（复）表示．等价地，这为 \(V\) 配备了一个 \(G\)-模结构——\(\mathbb C[G]\)-模结构的简写．以下问题将得到解答：
半单性：任意有限群的有限维复表示一定分解为若干不可约表示的直和．（定理 1）
特征标：证明特征标的正交性，从而通过内积计算任意表示的不可约成分组成情况：（推论 1） \[ V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus \langle \chi_V, \chi_{V_i} \rangle} \]
共轭类：不可约表示的同构类数量等于 \(G\) 的共轭类数量．（定理 4）
正则表示：群代数 \(\mathbb C[G]\) 通过左作用赋予的 \(G\)-模结构具有不可约表示分解 \[ \mathbb C[G] \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus \dim V_i} \] 从而给出一个对不可约表示维数的限制 \(\sum_i (\dim V_i)^2 = |G|\)．（定理 5）
本文的主要动机是：
提供 Fulton–Harris [1, chapter 1–2] 的一个中文速通版本
- Quantom chemists might find it better to read Serre [2, chapter 1–2] instead :p
提供坐标无关、matrix-free 的定义、记号和证明路线
- 如无必要，勿增实体：减少 ad hoc 定义的使用
统一地理解有限群表示论的各种平均化构造
- \(G\)-不变子空间投影 \(V \to V^G\)、\(G\)-不变内积和分裂同态提升
为 Peter–Weyl / Wedderburn–Artin 定理 \[ \mathbb C[G] \cong \bigoplus_i \operatorname{End}(V_i) \cong \bigoplus_i V_i^* \otimes V_i \] 的自顶向下方法做好铺垫．
顺畅阅读本文可能需要读者熟练以下内容：
- 抽象线性代数成熟度：对特征空间、对偶空间和张量积的理解
- 模论成熟度：短正合列、分裂同态与补空间的关系，对 \(\otimes\)-\(\operatorname{Hom}\) 对偶关系的理解
- 最基本的群论：共轭类、群作用、群同态
1 通用构造
给定 \(G\)-表示 \(V\), \(W\)，我们有若干标准的构造表示的手段：
\(G\)-不变子空间 \(V^G\)：
即 \(V^G := \{ v \in V : \forall g \in G,\, g \cdot v = v \}\)．
注意通过平均化手段，可以获得 \(V \to V^G\) 的一个投影 \[ v \mapsto \tilde v := \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} g \cdot v \] 使得 \(G\)-模正合列 \[ 0 \longrightarrow V^G \longrightarrow V \longrightarrow V / V^G \longrightarrow 0 \] 左侧分裂——人话是，它是 \(G\)-模同态，是满射，且保持 \(V^G\) 不变．
直和 \(V \oplus W\)：
线性空间直和配备 \(g \cdot (v,w) := (g \cdot v, g \cdot w)\)．
注意 \((V \oplus W)^G = V^G \oplus W^G\)．
张量积 \(V \otimes W\)：
线性空间张量积配备 \(g \cdot (v \otimes w) := (g \cdot v) \otimes (g \cdot w)\)．
对偶空间 \(V^* := \operatorname{Hom}(V, \mathbb C)\)：
线性空间对偶配备 \(g \cdot f := (v \mapsto f(g^{-1} \cdot v))\)．
线性映射空间 \(\operatorname{Hom}(V, W)\)：
线性空间 \(\operatorname{Hom}(V, W)\) 配备 \(g \cdot \varphi := (v \mapsto g \cdot \varphi(g^{-1} \cdot v))\)．
注意线性空间有自然同构 \(\operatorname{Hom}(V, W) \cong V^* \otimes W\)．我们设计的定义使得这一同构相容地提升到 \(G\)-模之上．
自同态空间 \(\operatorname{End}(V) := \operatorname{Hom}(V, V)\)．
\(G\)-模同态空间 \(\operatorname{Hom}_G(V, W)\)：
保持 \(G\)-模结构的所有线性映射同态，其中的同态 \(\varphi\) 满足 \(\varphi(g \cdot v) = g \cdot \varphi(v)\)．
注意我们设计的定义使得 \(\operatorname{Hom}_G(V, W) = \left(\operatorname{Hom}(V, W) \right)^G\)．
计算 \(\operatorname{Hom}(V, W) \to \operatorname{Hom}_G(V, W)\) 的平均化投影 \(\varphi \mapsto \tilde\varphi\)： \[ \tilde\varphi(v) := \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} (g \cdot \varphi)(v) = \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} g \cdot \varphi(g^{-1} \cdot v) \]
2 不可约表示
不可约表示是没有非平凡子表示的表示．本节证明完全分解性，并讨论不可约表示间的同态情况．
证明. 分裂同态与直和的联系是模正合列的标准内容，我们此处略过．提升同态已经是平均化投影的结果，自然是 \(G\)-模同态．则只需证明提升后同态的分裂性：
\[ \begin{aligned} \tilde \varphi \circ \iota (u) &= \left(\frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} g \cdot \varphi(g^{-1} \cdot \iota(u)) \right) & \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} g \cdot \varphi(\iota(g^{-1} \cdot u)) & \text{by }\iota \in \operatorname{Hom}_G(U,V) \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} g \cdot (\varphi \circ \iota) (g^{-1} \cdot u) \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} g \cdot (g^{-1} \cdot u) & \text{by split property of } \varphi \\ &= u \end{aligned} \]
半单观点是上述分裂同态观点的直接推论．
注记 (不变内积观点). 尚有一种常见观点我们未做介绍：
- 存在 \(V\) 的一个 \(G\)-不变内积 \(\langle \cdot, \cdot \rangle_G\)，从而在此内积意义下的 \(G\)-模补空间 \(U^\perp\) 使得 \(V = U \oplus U^\perp\) 在 \(G\)-模的直和分解意义下成立．
这里 \(G\)-不变内积是指内积满足 \(\langle g \cdot v, g \cdot w \rangle_G = \langle v, w \rangle_G\)．它的构造也是通过“平均化”提升任意 \(V\) 作为线性空间上的内积得到： \[ \langle v, w \rangle_G = \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \langle g \cdot v, g \cdot w \rangle \] 只要将内积视为 \(G\)-模 \(\operatorname{Hom}(V, V^*)\) 中的线性映射，内积的平均化其实可以实现为 \(\operatorname{Hom}(V, V^*) \to \operatorname{Hom}_G(V, V^*)\) 的平均化投影．详细分析其与分裂同态观点的关系需要过多抽象废话，简明流畅起见，我们后日再谈．
证明. 注意任何 \(G\)-同态的 \(\ker\), \(\operatorname{im}\) 都是 \(G\)-子模．
关于数乘，无妨设 \(W=V\)．对任意 \(V\) 上的 \(G\)-自同态 \(f\)，它在 \(V\) 中至少有一个非空的特征子空间——一个 \(G\)-子模．由于 \(V\) 不可约，这个特征子空间只能是 \(V\)，因此 \(f\) 是数乘．
3 特征标
研究特征标的主要原因是它和表示的同构类一一对应，且可以通过内积计算表示的不可约成分组成情况．
表示 \(\varphi : G \to \operatorname{GL}(V)\) 的特征标定义为函数 \(\chi_\varphi : G \to \mathbb C\), \(g \mapsto \operatorname{tr}(\rho(g))\)，在模的记号下亦写作 \(\chi_V\)．
记 \(L^2(G)\) 是 \(G \to \mathbb C\) 的全体函数构成的线性空间，配备内积 \(\langle f_1, f_2 \rangle := \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} f_1(g) \overline{f_2(g)}\)．特征标们构成 \(L^2(G)\) 的一个子空间，但我们还可以做的更好：由于迹的相似不变性，\(\chi_V(hgh^{-1}) = \chi_V(g)\)，故特征标函数在共轭类上取值相同．将这种 \(G \to \mathbb C\) 的函数称为类函数，于是特征标都是类函数．
特征标还满足以下性质：
\(G\)-wise properties:
\(\chi_V(1) = \dim V\)
对角线全一．
\(\chi_V(g^{-1}) = \overline{\chi_V(g)}\)
注意迹是特征值的和，特征值都是单位根，单位根取逆就是共轭，\(g^{-1}\) 的特征值是 \(g\) 的特征值的逆即可．
\(G\)-module-wise properties:
\(\chi_{V \oplus W}(g) = \chi_V(g) + \chi_W(g)\)
矩阵分块即可．
\(\chi_{V \otimes W}(g) = \chi_V(g) \chi_W(g)\)
矩阵分一堆块即可．
\(\chi_{V^*}(g) = \overline{\chi_V(g)}\)
也就是算 \(\rho_{V^*}(g) \in \operatorname{GL}(V^*)\) 的迹，按照 \(V^*\) 定义它恰好是 \(\rho_V(g^{-1}) \in \operatorname{GL}(V)\) 的对偶映射，再注意到对偶映射的迹等于原映射的迹和 \(\chi_V(g^{-1}) = \overline{\chi_V(g)}\) 即可．
注记. 不理解为什么 \(\operatorname{tr}(f^*) = \operatorname{tr}(f)\)？
我们有自然同构 \(\operatorname{Hom}(V, V) \cong V^* \otimes V \cong V \otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V^*, V^*)\)，中间的 \(\otimes\) 两侧交换对应转置．迹也可以坐标无关地定义为 \(V\) 和 \(V^*\) 之间的缩并，从而对偶成为张量积间的交换从而变得无关紧要．
或者直接坐标计算．嗯算就知道矩阵表示成转置关系．
Averaging properties:
\(\langle \chi_V, 1_G \rangle = \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \chi_V(g) = \dim V^G\)
这是平均化投影 \(V \to V^G\) 的迹——因为 \(V^G\) 上的元素被投影保持不变．
证明. 注意 \[ \begin{aligned} \dim \operatorname{Hom}_G(V, W) &= \dim (V^* \otimes W)^G \\ &= \langle \chi_{V^* \otimes W}, 1_G \rangle \\ &= \langle \overline{\chi_{V}} \chi_W, 1_G \rangle \\ &= \langle \chi_V, \chi_W \rangle \end{aligned} \]
当不可约时，前者 定理 2 确定 \(0\) / \(1\) 情况，立得正交性．
4 直和分解的典范投影
我们已经能够计算表示的不可约成分组成情况了，但尚不清楚如何构造从全空间到其某一不可约成分的显式投影．本节先开门见山提供不可约表示计数定理的证明，而一个典范的投影将在证明中浮现．
证明. 假如类函数 \(\chi\) 与每个不可约表示 \(V_i\) 的特征标 \(\chi_{V_i}\) 都正交．对偶表示 \(V_i^*\) 也不可约，故 \[ \begin{aligned} 0 &= \langle \chi, \chi_{V_i^*} \rangle \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \chi(g) \overline{\chi_{V_i^*}(g)} \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \chi(g) \chi_{V_i}(g) \\ &= \operatorname{tr}\left( \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \chi(g) \rho_{V_i}(g) \right) \end{aligned} \] 对任意表示 \(V\)，让我们记 \[ \varphi_{\chi, V} := \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \chi(g) \rho_{V}(g) \in \operatorname{End}(V) \] 则则刚证明了 \(\operatorname{tr}(\varphi_{\chi, V_i}) = 0\) 对所有不可约表示 \(V_i\) 成立．（也可立即推广到任意表示 \(V\)，不过证明暂时不需要）
现在更断言对任意表示 \(V\)，\(\varphi_{\chi, V}\) 其实是一个 \(G\)-同态：对任意 \(h \in G\)，\(v \in V\)，我们有 \[ \begin{aligned} (h \cdot \varphi_{\chi, V})(v) &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \chi(g) \cdot (h g h^{-1} \cdot v) \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \chi(h g h^{-1}) \cdot (h g h^{-1} \cdot v) & \text{by } \chi \text{ is a class function} \\ &= \varphi_{\chi, V}(v) \end{aligned} \] 于是 \(\varphi_{\chi, V} \in \operatorname{End}_G(V)\)．由 Schur 定理（定理 2），当 \(V = V_i\) 不可约时，\(\varphi_{\chi, V_i}\) 是数乘．又 \(\operatorname{tr}(\varphi_{\chi, V_i}) = 0\)，因此 \(\varphi_{\chi, V_i} = 0\)．
由于任意表示 \(V\) 都可以写成不可约表示的直和，而 \(\varphi_{\chi, V}\) 在每个不可约成分上都为 \(0\)，因此 \(\varphi_{\chi, V} = 0\) 推广到任意表示．现在特取正则表示 \(V = \mathbb C[G]\)，注意此时左乘作用 \(\rho_{\mathbb C[G]}(g)\) 线性无关，因此 \(\chi(g) = 0\) 对任意 \(g \in G\) 成立，即 \(\chi = 0\)．
除了证明的结论以外，在证明路线中我们还得到了一个重要的构造: \(\chi \mapsto \varphi_{\chi, V}\) 给出了一个 \(L^2(G) \to \operatorname{End}(V)\) 的线性映射．
注记. 这个构造其实是自然的：如果将 \(L^2(G)\) 通过同构 \(\chi \mapsto \sum_{g \in G} \chi(g) e_g\) 当作 \(\mathbb C[G]\) 理解，则 \(\chi \mapsto |G| \cdot \varphi_{\chi, V}\) 无非是由 \(\varphi_{e_g, V} := \rho_V(g)\) 线性扩展得到——或者甚至更直接的，就是表示 \(\rho : G \to \operatorname{GL}(V)\) 的线性扩展 \(\mathbb C[G] \to \operatorname{End}(V)\)！
总结并推广证明过程中得到的该构造的若干性质：
\(\varphi_{\chi, V}\) 关于 \(\chi \in L^2(G)\) 的加法和表示 \(V\) 的直和都是线性的．
\(\operatorname{tr}(\varphi_{\chi, V}) = \langle \chi, \chi_{V^*} \rangle = \langle \overline{\chi}, \chi_V \rangle\)
当 \(\chi\) 是共轭类函数时：\(\varphi_{\chi, V}\) 是 \(G\)-同态．
追加 \(V = V_i\) 不可约的条件：此时 \(\varphi_{\chi, V_i}\) 是系数为 \(\langle \overline{\chi}, \chi_{V_i} \rangle / \dim V_i\) 的数乘．
再追加设 \(V_j\) 也是不可约表示，取 \(\chi = \overline{\chi_{V_j}}\)，则 \[ \varphi_{\overline{\chi_{V_j}}, V} = \begin{cases} (1 / \dim V_j) \cdot \operatorname{id}_{V_i \cong V_j} & V_i \cong V_j \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]
现在考虑将 \(V\) 放松为任意表示，\(V_j\) 仍不可约，定义 \[ \pi_j := \dim V_j \cdot \varphi_{\overline{\chi_{V_j}}, V} = \frac{\dim V_j}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\chi_{V_j}(g)} \rho_V(g) \] 由于 \(V\) 可以写成不可约表示的直和，又结合 \(\varphi_{\overline{\chi_{V_j}}, V}\) 关于 \(V\) 的直和线性性，使用上一条的结果就有：\(\pi_j\) 就是 \(V\) 到其全体 \(V_j\) 成分的 \(G\)-同态投影．
注记. \(\chi \mapsto \varphi_{\chi, V}\) 也是 Peter–Weyl 定理 \(L^2(G) \cong \bigoplus_i \operatorname{End}(V_i)\) 直和投影的重要组成成分，其也将为我们提供不可约表示计数的一种更自顶向下的证明．我们后日再谈．
5 正则表示
正则表示将为我们提供对不可约表示维数的平方和限制．
群代数 \(\mathbb C[G]\) 是一组形式基底 \((e_g)_{g \in G}\) 生成的线性空间，乘法由 \(e_{g_1} e_{g_2} := e_{g_1 g_2}\) 定义．作为环，其自带一个左作用得到的 \(G\)-模结构，称之为正则表示．
证明. 推导路线已经给出，不再赘述．