一元多项式的 Delta 判别式
1 \(e\)-基、\(m\)-基与 \(p\)-基
1.1 整数分拆
整数分拆
设非负整数数列 \(\boldsymbol\lambda := (\lambda_1, \lambda_2, \dots)\) 只有有限项非零且（不严格）单调递减．定义长度 \(\mathcal L(\boldsymbol\lambda)\) 为其非零项元素个数；定义 \(\mathcal S(\boldsymbol\lambda)\) 为其非零项元素之和．此时称 \(\boldsymbol\lambda\) 是整数 \(\mathcal S(\boldsymbol\lambda)\) 的一个长度为 \(\mathcal L(\boldsymbol\lambda)\) 的分拆．
由于分拆只有有限项非零，对大于等于 \(\mathcal L(\boldsymbol\lambda)\) 的非负整数 \(k\)，我们也常省略从第 \(k+1\) 项开始的全为 \(0\) 的项，将 \(\boldsymbol\lambda\) 直接记为长度为 \(k\) 的非负整数数组 \((\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k)\)．
Ferrers diagram 和 Young diagram 是图示分拆的常见方法．
通过沿主对角线翻转分拆的 Ferrers diagram 或 Young diagram，可以定义分拆的转置．分拆 \(\lambda\) 的转置记为 \(\lambda^\mathrm{T}\)．转置后分拆的长度变为原分拆的首项，而首项变为原分拆的长度．
1.2 单项对称多项式
单项对称多项式
设 \(n\) 是正整数，\(K\) 是一个域．记 \(\boldsymbol x := (x_1,\dots,x_n)\)．设 \(\boldsymbol\lambda := (\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_n)\) 是长度不超过 \(n\) 的一个分拆．
定义 \(n\) 元多项式环 \(K[\boldsymbol x]\) 上的关于分拆 \(\boldsymbol\lambda\) 的单项对称多项式（monomial symmetric polynomial）\(m_{\boldsymbol\lambda}(\boldsymbol x)\) 为各项系数为 \(1\) 的含有单项式 \(\boldsymbol x^{\boldsymbol\lambda} := x_1^{\lambda_1} x_2^{\lambda_2} \dots x_n^{\lambda_n}\) 的项数最少的对称多项式．
- \(m_{(2,1,0)}(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 x_2 + x_1^2 x_3 + x_1 x_2^2 + x_1 x_3^2 + x_2^2 x_3 + x_2 x_3^2\)
- \(m_{(2,2,1)}(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 x_2^2 x_3 + x_1^2 x_2 x_3^2 + x_1 x_2^2 x_3^2\)
易见 \(m_{\boldsymbol\lambda}(\boldsymbol x)\) 是次数为 \(\mathcal S(\boldsymbol\lambda)\) 的齐次（homogeneous）多项式．全体单项对称多项式构成 \(n\) 元对称多项式环 \(\Lambda_n \subset K[\boldsymbol x]\) 作为 \(K\) 上线性空间的一组基底．
来数数
在计数时根据分拆中重复项的分布情况进行消序．
该问题等价于求满足 \(\mathcal S(\boldsymbol\lambda) = d\)，\(\mathcal L(\boldsymbol\lambda) \leq n\) 的所有可能分拆 \(\boldsymbol\lambda\) 的数量，也即“将 \(d\) 个无标号球放入 \(n\) 个可空置的无标号盒”的可行方案数．
1.3 基本对称多项式
基本对称多项式
\(n\) 元多项式环 \(K[\boldsymbol x]\) 上的 \(n\) 个基本对称多项式（elementary symmetric polynomial）定义为 \[ e_k(x_1,\dots,x_n) := \sum_{1 \leq i_1 < i_2 \dots < i_k \leq n} x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k}, \quad k = 1,2,\dots, n \] 使用单项对称多项式的记号，也可记为 \[ e_k(\boldsymbol x) := m_{\boldsymbol\lambda_k} (\boldsymbol x) \] 其中分拆 \(\boldsymbol\lambda_k := (1,\dots,1,0,\dots)\) 的前 \(k\) 项为 \(1\)，其余项皆为 \(0\)．
方便起见，定义 \(\boldsymbol e_0 = 1\)，定义 \(k>n\) 和 \(k<0\) 的 \(e_k = 0\)．设分拆 \(\boldsymbol\lambda := (\lambda_1,\lambda_2,\dots)\) 满足 \(\lambda_i \leq n, \quad \forall i \in \mathbb N_+\)．我们记 \(e_{\boldsymbol\lambda}(\boldsymbol x) := e_{\lambda_1}(\boldsymbol x) e_{\lambda_2}(\boldsymbol x) \dots e_{\lambda_{\mathcal L(\boldsymbol\lambda)}}(\boldsymbol x)\)．
生成函数
基本对称多项式有生成函数 \[ E(s) := \sum_{k \in \mathbb Z} e_k s^k = \prod_{i=1}^m (1 + x_i s) \]
对称多项式基本定理
该定理对交换环上的对称多项式仍然成立．这意味着若 \(f\) 是整系数对称多项式，则 \(g\) 也是整系数多项式．
在定理的存在性证明中，为消去首项对应的单项对称多项式 \(m_{\boldsymbol\lambda}(\boldsymbol x)\)，我们构造的若干个基本对称多项式的乘积恰为 \(\boldsymbol e_{\boldsymbol\lambda^\mathrm{T}}\)．
考察全体满足 \(\lambda_i \leq n, \quad \forall i \in \mathbb N_+\) 的分拆 \(\boldsymbol\lambda\) 对应的 \(e_{\boldsymbol\lambda}(\boldsymbol x)\)，它们构成了 \(n\) 元对称多项式环 \(\Lambda_n\) 作为 \(K\) 上线性空间的另一组基底．
1.4 幂和对称多项式
幂和对称多项式
\(n\) 元多项式环 \(K[\boldsymbol x]\) 上的幂和对称多项式（power sum symmetric polynomial）定义为 \[ p_k(x_1,\dots,x_n) := x_1^k + x_2^k + \dots + x_n^k,\quad k \in \mathbb N_{\geq 0} \] 使用单项对称多项式的记号，也可记为 \[ p_k(\boldsymbol x) := m_{(k,0,0,\dots)} \] 特别的，\(p_0(\boldsymbol x) = n\)．方便起见，定义 \(k < 0\) 的 \(p_k = 0\)．
一般地，结论对特征为 \(0\) 的域 \(K\) 也成立．
生成函数
幂和对称多项式有生成函数 \[ P(s) := \sum_{k \in \mathbb Z} p_k s^k = \sum_{k=0}^{+\infty} s^k \sum_{i=1}^m x_i^k = \sum_{i=1}^m \sum_{k=0}^{+\infty} (x_i s)^k = \sum_{i=1}^m \frac{1}{1-x_i s} \]
Newton 公式
以下定理递推地给出了幂和对称多项式 \(p_1,\dots,p_n\) 与基本对称多项式 \(e_1,\dots,e_n\) 间的关系．定理 2 的存在性部分可由这一定理给出．
更简单的写法
\[ \sum_{\substack{i+j=k}} (-1)^i e_i p_j = 0,\quad k \in \mathbb N_{\geq 0} \] 但在求和中“认为” \(p_0 = k\)．
一个基于生成函数的证明
\[ \frac{s E'(s)}{E(s)} = s \frac{\operatorname{d}\!}{\operatorname{d}\!s} \left( \ln E(s) \right) = \sum_{i=1}^m \frac{x_i s}{1+x_i s} = m - \sum_{i=1}^m \frac{1}{1+x_i s} = m - P(-s) \] 即 \[ \sum_{k=0}^\infty k e_k s^k = s E'(s) = E(s) (m - P(-s)) = E(s) \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} p_k \] 对比各项即得 Newton 公式．
1.5 其它基底
其它基底
完全齐次对称多项式（Complete homogeneous symmetric polynomials）、Schur 多项式……
2 Delta 判别式
Vieta’s formulas
Vieta 定理与对称多项式基本定理
即使尚未获知多项式 \(n\) 个复根 \(c_1,\dots,c_n\) 的具体取值，我们也能通过已知的多项式系数 \(a_0,\dots,a_{n-1}\) 获知 \(n\) 个 \(n\) 元基本对称多项式在根处的取值．
对称多项式基本定理指出，任何对称多项式都可被（唯一）表示为关于 \(n\) 个基本对称多项式的一个多项式．
仅需知晓多项式的系数，就可获得任意给定对称多项式在根处的取值．
目标：构造一个（数域 \(K \subset \mathbb C\) 上的）\(n\) 元对称多项式，使得能通过代入求值的方式，快速检测 \(n\) 个复数是否两两不同．
Vandermonde 行列式
考察作为（数域 \(K \subset \mathbb C\) 上）\(n\) 元多项式的 Vandermonde 行列式 \[ \begin{split} \det V &:= \det \begin{pmatrix} x_j^{i-1} \end{pmatrix}_{i=1,j=1}^{n,n} \\ &= \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) \end{split} \] 它是否可用于判定重根？它是对称多项式吗？
注记. \(\det V\) 是一个斜对称多项式．事实上，\(\det V\) 与所有对称多项式的乘积构成了全体斜对称多项式（alternating polynomials）．
判别式
设（数域 \(K \subset \mathbb C\) 上的）\(n\) 元对称多项式 \[ D(x_1,\dots,x_n) := (\det V)^2 = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)^2 \] 称其为（数域 \(K\) 上）一元 \(n\) 次首一多项式的判别式（Discriminant）．当代入的 \(\boldsymbol x := (x_1,\dots,x_n) \subset \mathbb C\) 互不相同时，\(D(\boldsymbol x) \neq 0\)；否则 \(D(\boldsymbol x) = 0\)．
根据对称多项式基本定理，存在唯一数域 \(K\) 上的 \(n\) 元多项式 \(d\)，使得 \(d(e_1(\boldsymbol x),\dots,e_n(\boldsymbol x)) = D(\boldsymbol x)\)．
这是因为 \(f(x)\) 的 \(n\) 个复根 \(\boldsymbol c := (c_1,\dots,c_n)\) 满足 \[ D(-\boldsymbol c) = d(e_1(-\boldsymbol c),\dots,e_n(-\boldsymbol c)) = d(a_{n-1},\dots,a_0) \]
判别式
对次数更高的方程，直接使用消首项方法求解判别式 \(D(\boldsymbol x)\) 在基本对称多项式下的表示 \(d(e_1,\dots,e_n)\) 将变得相当繁琐．下面利用判别式与 Vandermonde 行列式的关系得到另一种分解方法．
另一分解方法
\[ \begin{aligned} D(\boldsymbol x) &= (\det V)^2 = \det(V V^T) \\ &= \det (\begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & \dots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & \dots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}) \\ &= \det \begin{pmatrix} n & p_1(\boldsymbol x) & \dots & p_{n-1}(\boldsymbol x) \\ p_1(\boldsymbol x) & p_2(\boldsymbol x) & \dots & p_n(\boldsymbol x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n-1}(\boldsymbol x) & p_n(\boldsymbol x) & \dots & p_{2n-2}(\boldsymbol x) \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} p_{i+j-2}(\boldsymbol x) \end{pmatrix}_{i=1,j=1}^{n,n} \end{aligned} \] 而由 Newton’s Identities，幂和对称多项式 \(p_k(\boldsymbol x)\) 可较容易地递推分解为基本对称多项式的多项式组合，故我们找到了分解 \(D(\boldsymbol x)\) 的一种更易操作的方法．