漫步有限群表示论

A Tour of Representation Theory of Finite Groups

有限群表示论，Peter–Weyl 分解，对称群表示论和 Schur–Weyl 对偶．

这是若干篇相互关联的短文合集，最初的主要目标是开辟一条有限群表示论到 Schur–Weyl 对偶的路线．主线内容依次包括

• 有限群表示论基础．这一部分是 [1, Ch. 1–2] 和课堂内容的整理．不同点是证明群表示半单性时强调了分裂同态的观点．

• 有限群的 Peter–Weyl 定理．这里部分参考 [1, Sec. 3.4]，强调定理双边表示版本，并给出了多种路线的证明．

• 对称群 \(\mathcal S_n\) 的表示论．这里主要参考 [1, Ch. 4.2] 和课堂内容．不同点是我们没有在记号上偷懒，为每个 Young 表 \(T\) 定义了 Young 对称化子 \(c_T\)．会看到在处理组合部分中更细的记号具有优势．在建立 Specht 模的正交关系时，比起直接使用分拆上的字典序，我们更细的考虑分拆上的支配序和其与 Young 表的组合联系．

• Schur–Weyl 对偶．这一部分是 [2, Secs. 5.18–5.19] 的整理，强调 Peter–Weyl 定理在其中的作用．

时间有限，文章各处散落着一些 TODO，敬请谅解．后续也可能加入其它与主线相对独立的短文．

Acknowledgement

The author would like to thank Prof. Yu Zhao for his wonderful lectures on representation theory; Shubin Xue and Yihan Zhuo for sharing their lecture notes of PKU summer school; Binhong Sheng for careful reading and valuable questions.

References

[1]

W. Fulton and J. Harris, Representation theory, vol. 129. in Graduate texts in mathematics, vol. 129. New York, NY: Springer, 2004. doi: 10.1007/978-1-4612-0979-9.

[2]

P. I. Etingof et al., Introduction to representation theory, vol. 59. American Mathematical Soc., 2011. Accessed: Apr. 20, 2026. [Online]. Available: https://math.mit.edu/~etingof/reprbook.pdf