内积
本节旨在为 Maschke 定理的两种观点——分裂同态观点和不变内积观点提供证明和等价性阐述．
内积的第二重理解
线性空间 \(V\) 上的内积 \(\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma\) 是一个正定对称双线性型，作为映射可以写作 \(\gamma \in \operatorname{Hom}(V, \operatorname{Hom}(V, \mathbb C))\)．但注意到 \[ \operatorname{Hom}(V, V^*) = \operatorname{Hom}(V, \operatorname{Hom}(V, \mathbb C)) \] 故也可写作 \(\gamma \in \operatorname{Hom}(V, V^*)\)．因此，内积 \(\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma\) 事实上给出一个线性空间到其对偶的同构 \(\gamma : V \to V^*\) 满足 \(\langle v, w \rangle_\gamma := \gamma(v)(w)\)．
Remark. 反过来，如果给定一个线性空间到其对偶的同构 \(\gamma : V \to V^*\)，我们可以定义 \(\langle v, w \rangle_\gamma := \gamma(v)(w)\)，但它现在只是一个非退化的双线性型，我们暂时无法顾及对称性和正定性的要求．
使用 \(V \to V^*\) 的记号讨论内积有很多好处．特别地，这方便我们使用交换图描述对保内积同态的要求．设 \(U\), \(V\) 是配备内积 \(\gamma_U : U \to U^*\), \(\gamma_V : V \to V^*\) 的线性空间，称线性映射 \(\varphi : U \to V\) 是保内积的，如果它使得如下交换图成立：
这里 \(\varphi^* : V^* \to U^*\) 是定义为 \(f \mapsto (u \mapsto f(\varphi(u)))\) 的对偶映射．容易验证我们的定义和常见的要求 \(\langle x, y \rangle_U = \langle \varphi(x), \varphi(y) \rangle_V\) 的定义等价：
Proof. \[ \begin{aligned} \langle x, y \rangle_U &= \gamma_U(x)(y) \\ &= \left(\varphi^* \circ \gamma_V \circ \varphi (x) \right) (y) \\ &= \gamma_V(\varphi(x))(\varphi(y)) \\ &= \langle \varphi(x), \varphi(y) \rangle_V \end{aligned} \]
补空间
现在在此种观点下描述补空间．考虑线性空间正合列 \[ 0 \longrightarrow U \xrightarrow{\iota} V \xrightarrow{\pi} W \longrightarrow 0 \] 此时 \(\iota(U) \subseteq V\) 存在补空间等价于存在左分裂同态 \(\psi \in V \to U\) 使得 \(\psi \circ \iota = \operatorname{id}_U\)：\(\iota(U)\) 的补空间由 \(\ker \psi\) 给出，于是我们有线性空间意义下的直和 \(V = \iota(U) \oplus \ker \psi\)．
通常认为有限维空间的补空间的存在性通过扩充基底保证，但取定基底即是引入内积，所以我们给出一个基底无关的构造．设 \(U\), \(V\), \(W\) 配备内积 \(\gamma_U\), \(\gamma_V\), \(\gamma_W\)，\(\iota : U \to V\) 和 \(\pi : V \to W\) 是保内积的线性映射——即如下图表交换
则在 \(V \to V^*\) 的内积观点下，\(\iota(U)\) 的补空间由 \[ \iota(U)^\perp := \{ v \in V : \forall u \in U,\, \langle v, \iota(u) \rangle_V = 0 \} = \ker (\iota^* \circ \gamma_V) = \ker (\gamma_U^{-1} \circ \iota^* \circ \gamma_V) \] 给出，左分裂同态可构造为 \(\psi := \gamma_U^{-1} \circ \iota^* \circ \gamma_V\)——且该同态甚至保内积：
Proof. 验证它确实是左分裂同态： \[ \begin{aligned} \psi \circ \iota &= (\gamma_U^{-1} \circ \iota^* \circ \gamma_V) \circ \iota \\ &= \gamma_U^{-1} \circ (\iota^* \circ \gamma_V \circ \iota) \\ &= \gamma_U^{-1} \circ \gamma_U \\ &= \operatorname{id}_U \end{aligned} \] 也就是从 \(U\) 出发顺时针转一圈是 \(\operatorname{id}_U\)．
验证它保内积（\(\psi^* \circ \gamma_U \circ \psi = \gamma_V\)）： \[ \begin{aligned} \psi^* \circ \gamma_U \circ \psi &= \psi^* \circ \gamma_U \circ (\gamma_U^{-1} \circ \iota^* \circ \gamma_V) \\ &= \psi^* \circ \iota^* \circ \gamma_V \\ &= (\psi \circ \iota)^* \circ \gamma_V \\ &= \operatorname{id}_U^* \circ \gamma_V \\ &= \gamma_V \end{aligned} \] 即从 \(V\) 出发逆时针转一圈是 \(\operatorname{id}_V\)．
所以这真的给出了一个内积空间意义下的直和 \(V = \iota(U) \oplus \iota(U)^\perp\)．
\(G\)-不变内积
下面为 \(G\)-模配备内积——自然要求 \(\gamma_V : V \to V^*\) 是 \(G\)-模同态．这一要求可以等价地翻译为通常的内积写法 \(\langle g \cdot v, g \cdot w \rangle_{\gamma} = \langle v, w \rangle_{\gamma}\)，从而我们也称之为 \(G\)-不变内积：
Proof. \[ \begin{aligned} \langle g \cdot v, g \cdot w \rangle_{\gamma} &= \gamma (g \cdot v) (g \cdot w) & \text{by natural isomorphism} \\ &= (g \cdot \gamma(v))(g \cdot w) & \text{by } \gamma \text{ is } G\text{-homomorphism} \\ &= \gamma(v)(g^{-1}g \cdot w) & \text{by } G\text{-module structure of } V^* \\ &= \gamma(v)(w) \\ &= \langle v, w \rangle_{ \gamma} & \text{by natural isomorphism} \end{aligned} \]
内积的平均化提升
怎么为 \(G\)-模配备 \(G\)-不变内积？有了前面的铺垫，自然可以先任取一个线性空间意义下的内积 \(\gamma \in \operatorname{Hom}(V, V^*)\)，然后对其应用 \(\operatorname{Hom}(V, V^*) \to \operatorname{Hom}_G(V, V^*)\) 的平均化投影得到得到 \(G\)-模同态 \[ \tilde \gamma : V \to V^*,\, v \mapsto \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} g \cdot \gamma(g^{-1} \cdot v) \] 这一平均化也可翻译为内积写法 \(\langle v, w \rangle_{\tilde \gamma} = \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \langle g \cdot v, g \cdot w \rangle_{\tilde \gamma}\)：
Proof. \[ \begin{aligned} \langle v, w \rangle_{\tilde \gamma} &= \tilde \gamma(v)(w) & \text{by natural isomorphism} \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} (g \cdot \gamma)(v)(w) & \text{by definition of } \tilde\gamma \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \left( g \cdot \gamma(g^{-1} \cdot v) \right) (w) & \text{by } G\text{-module structure of } \operatorname{Hom}(V, V^*) \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \gamma(g^{-1} \cdot v)(g^{-1} \cdot w) & \text{by } G\text{-module structure of } V^* \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \gamma(g \cdot v)(g \cdot w) \\ &= \frac 1 {|G|} \sum_{g \in G} \langle g \cdot v, g \cdot w \rangle_{\tilde \gamma} & \text{by natural isomorphism} \end{aligned} \]
即 \(G\)-不变内积可以通过任取线性空间意义下的内积做平均化提升得到．
补空间的平均化提升
即 Maschke 定理的分裂同态观点．