经典李代数中的幂零轨道：分类
幂零锥和其上的几何：以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例
设 \(V\) 是 \(n\) 维线性空间．所谓经典李代数，即是单李代数中寄居在线性李代数 \(\mathfrak{gl}(V)\) 中的：
- A 型李代数：即特殊线性李代数 \(\mathfrak{sl}(V) := \{X \in \mathfrak{gl}(V) : \operatorname{Tr}X = 0\}\)，\(A_n\) 型对应 \(\dim V = n+1\)．
- C 型李代数：即辛李代数 \(\mathfrak{sp}(V)\)，\(C_n\) 型对应 \(\dim V = 2n\)．
- B 型和 D 型李代数：即正交李代数 \(\mathfrak{so}(V)\)，\(B_n\) 型对应 \(\dim V = 2n+1\)，\(D_n\) 型对应 \(\dim V = 2n\)．
其中，\(\mathfrak{sl}(V)\) 的幂零轨道已经由 Jordan 型（即分拆）分类，本篇主要关心 \(\mathfrak{so}(V)\) 和 \(\mathfrak{sp}(V)\) 中的幂零轨道．
我们主要跟随 [1, section 1] 的呈现．主要的不同是，我们在 小节 7 介绍了幂零轨道分类的结果和 Jacobson–Morozov 定理的联系，并借此在 [@#sec-rep-theory-orbit-classification] 提供了幂零轨道分类的另一表示论风格的简明证明．
除明确说明外，本章默认在复数域 \(\mathbb C\) 上工作；为表示区分，本章中，在给定一组基的前提下，线性变换对应的矩阵通常使用其对应正体大写字母表示，例如 \(X \in \mathfrak{gl}(V)\) 在某组基下的矩阵记为 \(\mathrm X\)．
1 A 型李代数
讨论幂零轨道首先需要明确作用群的选择．设 \(V\) 是 \(\mathbb C\) 上 \(n\) 维线性空间．对 \(\mathfrak{gl}(V)\) 来说自然选 \(\mathrm{GL}(V)\) 就好，但 \(\mathfrak{sl}(V)\)、\(\mathfrak{so}(V)\) 和 \(\mathfrak{sp}(V)\) 似乎都应该更加小心．例如，\(\mathfrak{sl}(V)\) 上考虑 \(\mathrm{GL}(V)\) 的子群 \(\mathrm{SL}(V)\) 的共轭作用似乎也非常合理——\(\mathfrak{sl}(V)\) 系由 \(\mathrm{SL}(V)\) 单位元处取切空间得到．更进一步地，不少线性变换产生的实际共轭效果是一致的，最有效地来说应该考虑所有可能的共轭作用构成的群——一个 \(\mathrm{GL}(V)\) 的商群．不过下面的结果告诉我们这其实都没有关系：不同作用群的选择在 \(\mathfrak{gl}(V)\) 或 \(\mathfrak{sl}(V)\) 上导致的轨道是一样的．
证明.
- 这是因为任意 \(g \in \mathrm{GL}(V)\) 的共轭作用 \(X \mapsto g X g^{-1}\) 都等价于 \((\det g)^{-1/n} g \in \mathrm{SL}(V)\) 的共轭作用（标量因子不改变共轭效果），而中心在共轭作用下不起作用．
- 对群同态 \(\mathrm{SL}(V) \to \operatorname{Aut}(\mathfrak{gl}(V))\) 使用第一同构定理．
注记. 可以看到这其实和基域的选择有关．考虑群正合列： \[ 1 \longrightarrow \mathrm{SL}(V) \longrightarrow \mathrm{GL}(V) \xrightarrow{\det} \mathbb C^\times \longrightarrow 1 \] 右分裂同态 \(c \mapsto (\det c)^{1/n}\) 使得其右侧分裂，从而 \(\mathrm{GL}(V) = \mathrm{SL}(V) \rtimes Z(\mathrm{GL}(V)) \cong \mathrm{SL}(V) \rtimes \mathbb C^\times\)．但这是复数域能够开根的结果．TODO: 这也许和所谓的 split-reductive group 有关．
2 正交群及其斜自伴李代数
下面开始考虑 B、C、D 型李代数．仍然第一个问题是作用群．当然至少仍然有 \(\mathrm{GL}\) 的选择，即还是通过 Jordan 型来分类幂零轨道．但会希望有一个更小的作用群，不说一定恰好是共轭作用群，但至少也要足够小，例如对 \(\mathfrak{so}\) 的 \(\operatorname{SO}\) 或对 \(\mathfrak{sp}\) 的 \(\operatorname{Sp}\) 来得到更细的分类．为统一研究方便，来先在 \(\mathbb C\) 上有限维线性空间 \(V\) 上确定一个非退化双线性型 \(\varphi(-,-)\) 明确正交群及其斜自伴李代数的定义．
2.1 非退化双线性型
设 \(\varphi(-,-)\) 为 \(V\) 上的非退化双线性型——非退化是指左根（或 / 且右根）为零，等价于 \(\varphi\) 作为 \(V \to V^*\) 的线性映射可逆．对任意线性变换 \(X \in \mathfrak{gl}(V)\)，规定 \(X^*\) 为满足 \(\varphi(Xv, w) = \varphi(v, X^*w)\) 的唯一映射，抽象地来说是对偶空间 \(V^*\) 上的对偶映射通过非退化双线性型拉回到 \(V\) 上的结果．定义正交群 \(G\) 和斜自伴李代数 \(\mathfrak{g}\) 如下： \[ G := O(V, \varphi) := \{X \in \mathrm{GL}(V) : \varphi(Xv, Xw) = \varphi(v, w)\} = \{X \in \mathrm{GL}(V) : X^* = X^{-1}\} \] \[ \mathfrak g := \mathfrak o(V, \varphi) := \{X \in \mathfrak{gl}(V) : \varphi(Xv, w) = -\varphi(v, Xw)\} = \{X \in \mathfrak{gl}(V) : X^* = -X\} \] 因此 \(G\) 和 \(\mathfrak{g}\) 是它们各自在其代数结构的对极映射下不变的元素全体．
注记 (矩阵记号). 在选定基底后，使用矩阵记号会为计算带来便利．设 \(\Phi\) 是双线性型 \(\varphi\) 在该基下的 Gram 矩阵，则 \(\varphi(v, w) = v^T \Phi w\)，非退化意味着 \(\Phi\) 可逆．伴随算子 \(\mathrm X^*\)、正交群 \(G\) 和斜自伴李代数 \(\mathfrak{g}\) 的定义可以用矩阵记号重写为： \[ \begin{aligned} \mathrm X^* &:= \Phi^{-1} \mathrm X^T \Phi \\ G &= \{\mathrm X \in \mathrm{GL}_n : \mathrm X^T \Phi \mathrm X = \Phi\} = \{ \mathrm X \in \mathrm{GL}_n : \mathrm X^* = \mathrm X^{-1} \} \\ \mathfrak g &= \{\mathrm X \in \mathfrak{gl}_n : \mathrm X^T \Phi = - \Phi \mathrm X \} = \{\mathrm X \in \mathfrak{gl}_n : \mathrm X^* = -\mathrm X\} \end{aligned} \]
注记 (表示论观点). 若将 \(\varphi\) 视为 \(V \to V^*\) 的线性映射，则
- \(\varphi\) 是群表示意义下的 \(G\)-模同态，且 \(G\) 是使得 \(\varphi\) 成为 \(G\)-模同态的最大的 \(\mathrm{GL}(V)\) 的子群．
- \(\varphi\) 是李代数表示意义下的 \(\mathfrak{g}\)-模同态，且 \(\mathfrak{g}\) 是使得 \(\varphi\) 成为 \(\mathfrak g\)-模同态的最大的 \(\mathfrak{gl}(V)\) 的子李代数．我们写作 \(\varphi \in \operatorname{Hom}_{\mathfrak g}(V, V^*)\)，或等价地 \(\varphi \in (V^* \otimes V^*)^{\mathfrak g}\)，这里 \((V^* \otimes V^*)^{\mathfrak g}\) 是 \(V^* \otimes V^*\) 中全体被 \(\mathfrak g\)-作用消灭的元素全体．
将来只关心两类特殊的非退化双线性型：对称的 \(\varphi(v, w) = \varphi(w, v)\) 和斜对称的 \(\varphi(v, w) = -\varphi(w, v)\)．前者对应正交群 \(O(V, \varphi)\) 及其斜自伴李代数 \(\mathfrak{so}(V, \varphi)\)，后者对应辛群 \(\operatorname{Sp}(V, \varphi)\) 及其斜自伴李代数 \(\mathfrak{sp}(V, \varphi)\)．不过在此之前，可以对一般的非退化双线性型做一点讨论：
读者依序自证不难．更精炼地有如下正合列交换图：
注记 (非退化双线性型的分类). 自然会问为什么只研究对称和斜对称两种非退化双线性型，这将我们引向非退化双线性型的分类问题．注意这些双线性型全体应被视为构成 \(\mathrm{GL}(V)\)-模 \(V^* \otimes V^*\)，而分类问题则是对其轨道进行分类．
Schur–Weyl 对偶告诉我们 \(V^* \otimes V^*\) 作为 \(\mathrm{GL}(V)\)-表示分解成不可约代数表示 \(\operatorname{Sym}^2 V^*\) 和 \(\operatorname{Alt}^2 V^*\)（对应任何双线性型可唯一分解为其对称部分与斜对称部分之和）．之前的讨论分类了这两个子表示内部的 \(\mathrm{GL}(V)\)-轨道：完全由秩来分类．关于整个 \(V^* \otimes V^*\) 的轨道结构则更为复杂，需要更细致的分析【TODO】．
2.2 对称与斜对称双线性型的结构
证明.
否则 \[ \varphi(v+w, v+w) = \varphi(v, v) + \varphi(w, w) + \varphi(v, w) + \varphi(w, v) = 0 \] 结合对称性和特征非二的假设，将得到 \(\varphi(v, w) = 0\) 对任意 \(v, w\) 成立，与 \(\varphi\) 非零矛盾．
归纳，取出上述 \(v \in V\) 作为首个基底．考虑其正交补空间，其维数为 \(\dim V - 1\)．对此空间重复上述过程，最终得到一个基底使得 \(\varphi\) 的矩阵为对角型．
平凡．
证明.
注意斜对称使得所有向量 \(v\) 都有 \(\varphi(v, v) = 0\)，因此 \(\varphi\) 非零保证了存在 \(v, w\) 使得 \(\varphi(v, w) \neq 0\)．
考虑 \(v\) 的正交补空间 \(v^\perp\)，其维数为 \(\dim V - 1\)，\(v \in v^\perp\) 且 \(w \notin v^\perp\)．类似性质也对 \(w^\perp\) 成立．因此 \(v^\perp \cap w^\perp\) 与 \(v\), \(w\) 正交且维数为 \(\dim V - 2\)．对 \(v^\perp \cap w^\perp\) 重复上述过程即可．
平凡．
注记 (其它域上的对称和斜对称双线性型分类). 在其它域上对对称和斜对称双线性型做具体分类会更加复杂．当然，通用的第一步约化是，对角线或二维子空间的变量只需在商掉平方数的 \(F^{\times} / (F^{\times})^2\) 中考虑．
3 约化到 Jordan 型
以下定理保证正交群 \(G\) 作用下斜自伴李代数 \(\mathfrak g\) 共轭轨道和在 \(\mathrm{GL}(V)\) 作用下的共轭轨道分类情况一致：
证明. 设存在 \(g \in \mathrm{GL}(V)\) 使得 \(gXg^{-1} = Y\)．目标是调整 \(g\) 使得它满足 \(g^* g = 1\) 落入 \(G\) 的同时仍然保持 \(gXg^{-1} = Y\)．
对 \(gXg^{-1} = Y\) 两边取 \(\varphi\)-伴随得 \((g^{-1})^* X^* g^* = Y^*\)，即 \((g^*)^{-1} X^* g^* = Y^*\)．又因为 \(X, Y \in \mathfrak{g}\) 即 \(X^* = -X\)、\(Y^* = -Y\)，所以 \((g^*)^{-1} X g^* = Y\)．联立两式推出 \(g^*g\) 与 \(X\) 可交换，同时注意 \(g^* g \in G\)．
现在做断言：存在多项式 \(p(t) \in \mathbb{C}[t]\) 使得 \(h := p(g^*g)\) 满足 \(h^2 = g^*g\)．于是 \(h\) 满足以下三个条件：
- \(h \in \mathrm{GL}(V)\)：因为 \(h^2 = g^*g\) 可逆．
- \(h = h^*\)：因为他是自伴的 \(g^*g\) 的多项式．
- \(h\) 与 \(X\) 可交换：因为 \(h\) 是 \(g^*g\) 的多项式，故和 \(g^* g\) 交换，进而和 \(X\) 可交换．
现在考虑 \(gh^{-1}\)，断言它就是我们所求：
- \(gh^{-1} \in G\): \((gh^{-1})^* (gh^{-1}) = (h^*)^{-1} (g^* g) h^{-1} = h^{-1} (g^* g) h^{-1} = 1\)
- \((gh^{-1}) X (gh^{-1})^{-1} = g h^{-1} X h g^{-1} = g X g^{-1}\)，最后一步使用了 \(h\) 与 \(X\) 交换．
关于断言的证明见下面的引理．
证明. 因为限定了在 \(g\) 多项式生成的代数 \(\mathbb{C}[g]\) 中寻找 \(h\)，而 \(\mathbb{C}[g] \cong \mathbb{C}[t]/(f(t))\)，其中 \(f(t)\) 是 \(g\) 的最小多项式．因此问题等价于在 \(\mathbb{C}[t]/(f(t))\) 中寻找 \(t\) 的平方根．注意因为 \(g\) 可逆，这里 \(f(t)\) 的常数项非零．
由环同构版本的中国剩余定理，找平方根等价于在每个 \(\mathbb{C}[t]/(t-b)^r\) 上找 \(t\) 的平方根，这里 \(b \neq 0\)．做一下平移和缩放，等价于在 \(\mathbb{C}[t]/(t^r)\) 上找 \(1 + at\) 的平方根，这里 \(a \neq 0\)．
则设 \(p(t) = 1 + a_1 t + \cdots + a_{r-1} t^{r-1}\) 满足 \(p(t)^2 \equiv 1 + at \pmod{t^r}\)．比较系数：
- 常数项：\(1 = 1\)
- \(t\) 的系数：\(2 a_1 = a \implies a_1 = \frac{a}{2}\)
- \(t^k\) 的系数：\(2 a_k + \sum_{i=1}^{k-1} a_i a_{k-i} = 0 \implies a_k = -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{k-1} a_i a_{k-i}\)
这样就递归地确定了 \(a_1, \ldots, a_{r-1}\)，平方根存在．
注记. 此命题的证明大约在 1950s-1960s 之间出现，具体历史评注可见 [1, section 1.5]．
注记. 注意 \(G\) 现在只是正交群 \(O(V,\varphi)\)，它可能还不足够细．当 \(\varphi\) 斜对称时，\(G\) 作为辛群是连通的，因此基本上够了．但 \(\varphi\) 对称时，\(G\) 作为正交群是不连通的，\(\operatorname{SO}(V, \varphi)\) 才是它的连通子群．因此 \(\operatorname{SO}(V, \varphi)\) 的轨道可能比 \(O(V, \varphi)\) 的轨道更细——轨道分类的故事还没有结束．不过这至少帮助我们获得了 Jordan 型的较粗分类．
以后讨论 B、C、D 型的幂零轨道时，默认指代正交群 \(O(V, \varphi)\) 作用下的轨道．
4 构造合法分拆
另一件尚未完成的工作是：哪些 Jordan 型能够在 \(\mathfrak{so}(V)\) 或 \(\mathfrak{sp}(V)\) 的幂零线性变换上产生？剧透一下最终的答案：
- 对于 \(\mathfrak{so}(V)\)，偶数大小的 Jordan 块必须出现偶数次；
- 对于 \(\mathfrak{sp}(V)\)，奇数大小的 Jordan 块必须出现偶数次．
我们将把满足上述条件的分拆称为（对称或斜对称情形下的）合法分拆．讨论此事需关注两个问题：
- 在斜自伴李代数中凑出具有上述 Jordan 型的幂零线性变换
- 证明斜自伴李代数中的幂零线性变换的 Jordan 型必须满足上述条件
我们跟随 [1, section 1.6–1.11]，先提供一个纯线性代数的显式证明．思路很简单：先为一个或两个相同大小的 Jordan 块构造非退化双线性型，然后正交地拼接它们，最后将任何幂零斜自伴线性变换的 Jordan 型约化到上述情况．
本节先来做凑的工作．设在 \(d\) 维线性空间 \(V\) 中取定基底 \((e_1, \dots, e_d)\)，定义幂零线性变换 \(X \in \mathfrak{gl}(V)\) 在此基下的矩阵为 \(d\) 阶 Jordan 块 \[ X e_k = \begin{cases} e_{k-1} & 2 \leq k \leq d \\ 0 & k = 1 \end{cases} \qquad \mathrm J_d := \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix} \] 同时定义 \(V\) 上的双线性型 \(\varphi\) 在此基下的矩阵为 \[ \varphi(e_i, e_j) = \begin{cases} (-1)^i & \text{if } i + j = d + 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \qquad \Phi_d := \begin{pmatrix} & & & 1 \\ & & -1 & \\ & \dots & & \\ (-1)^{d-1} & & & \end{pmatrix} \tag{1}\] 容易验证：
- \(d\) 偶数时斜对称，\(d\) 为奇数时对称．
- \(X\) 关于 \(\varphi\) 斜自伴．
- \(\varphi\) 非退化．
- \(d\) 为偶数时 \(\varphi\) 斜对称，为 \(\mathfrak{sp}\) 提供了单个偶数阶 Jordan 块的构造．
- \(d\) 为奇数时 \(\varphi\) 对称，为 \(\mathfrak{so}\) 提供了单个奇数阶 Jordan 块的构造．
下面再为成对的块提供构造．设在 \(2d\) 维线性空间 \(V\) 中取定基底 \((e_1, \dots, e_d, f_1, \dots, f_d)\) 使得前 \(d\) 个基向量张成的子空间上 \(X\) 的矩阵为 \(\mathrm J_d\)，后 \(d\) 个基向量张成的子空间上也为 \(\mathrm J_d\)，即 \(X\) 在此基下的矩阵为 \[ \begin{pmatrix} \mathrm J_d & \\ & \mathrm J_d \end{pmatrix} \] 定义双线性型 \(\varphi\) 在此基下的矩阵为 \[ \Phi := \begin{pmatrix} 0 & \Phi_d \\ \varepsilon \Phi_d^T & 0 \end{pmatrix} \tag{2}\] 这里 \(\varepsilon \in \{1,-1\}\)．同样容易验证：
- \(X\) 关于 \(\varphi\) 斜自伴．
- \(\varphi\) 非退化．
- \(\varepsilon = -1\) 时 \(\varphi\) 斜对称，为 \(\mathfrak{sp}\) 提供了成对 Jordan 块的构造．
- \(\varepsilon = 1\) 时 \(\varphi\) 对称，为 \(\mathfrak{so}\) 提供了成对 Jordan 块的构造．
注意非退化双线性型的正交直和保持其非退化性、对称或斜对称性．因此我们完成了 \(\mathfrak{so}\) 和 \(\mathfrak{sp}\) 中合法分拆的构造．
5 约化到合法分拆
证明. 考虑 \(X\) 的幂零指数 \(d\) 使得 \(X^d = 0\) 且 \(X^{d-1} \neq 0\)．任取 \(u_0 \in V\) 使得 \(X^{d-1} u_0 \neq 0\) 并定义 \(u_k := X^k u_0\)，记 \(U := \mathbb C u_0 \oplus \dots \oplus \mathbb C u_{d-1}\)，这是 \(X\) 的一个 \(d\) 维不变子空间，且 \(X\) 在基底 \((u_{d-1}, \dots, u_0)\) 上的矩阵实现为 Jordan 块 \(\mathrm J_d\)．进一步考察 \(\varphi\) 限制在 \(U\) 上相对基底 \((u_{d-1}, \dots, u_0)\) 的矩阵，多次使用 \(X\) 关于 \(\varphi\) 的斜自伴性 \[ \varphi(u_i, u_j) = \varphi(X^i u_0, X^j u_0) = (-1)^i \varphi(u_0, X^{i+j} u_0) \] 这意味着矩阵在每条反对角线上正负交替；且当 \(i+j \geq d\) 时 \(\varphi(u_i, u_j) = 0\)，即矩阵在严格左上三角区域为零．
现在考虑 \(U\) 关于 \(\varphi\) 的正交补 \(U^\perp\)，有两种情况需要讨论．
如果 \(U^\perp \cap U = \{0\}\)．由于 \(X\) 关于 \(\varphi\) 的斜自伴性，\(U^\perp\) 也是 \(X\) 的不变子空间．此时在 \(U^\perp\) 上重复上述过程归纳即可．注意此时 \(\varphi\) 在 \(U\) 上非退化，结合之前分析 \(\varphi\) 在 \(U\) 上的矩阵结构知反对角线上正负交替的元素必非零： \[ \varphi(u_0，u_{d-1}) = \dots = (-1)^{d-1} \varphi(u_{d-1}, u_0) \neq 0 \] 于是当 \(\varphi\) 对称时 \(d\) 必须为奇数，当 \(\varphi\) 斜对称时 \(d\) 必须为偶数．
如果 \(U^\perp \cap U \neq \{0\}\)．取一 \(u \in U^\perp \cap U\)，不妨设 \(u = \sum_{k=0}^{d-1} c_k u_k\) 并设 \(s\) 是使得 \(c_s \neq 0\) 的第一个正整数．则 \(X^{d-s-1} u = c_s u_{d-1} \neq 0\)，因此 \(u_{d-1} \in U \cap U^\perp\)．
因为 \(\varphi\) 非退化，存在 \(w_0 \in V\) 使得 \(\varphi(u_{d-1}, w_0) = 1\)．定义 \(w_k := X^k w_0\)，记 \(W := \mathbb C w_0 \oplus \dots \oplus \mathbb C w_{d-1}\)，这是 \(X\) 的一个 \(d\) 维不变子空间．下面断言
\(w_1, \dots, w_{d-1}\) 线性无关．因为它们是由幂零线性变换 \(X\) 多次作用得到，其实只需证这些向量非零：多次使用 \(X\) 关于 \(\varphi\) 的斜自伴性 \[ 1 = \varphi(u_{d-1}, w_0) = -\varphi(u_{d-2}, w_1) = \dots = (-1)^{d-1} \varphi(u_0, w_{d-1}) \] 即可．
\(U \cap W = 0\)．设 \(v = \sum_{k=0}^{d-1} a_k u_k = \sum_{k=0}^{d-1} b_k w_k\)．假若 \(v \neq 0\)，设 \(s\) 是使得 \(a_s \neq 0\) 或 \(b_s \neq 0\) 的第一个正整数．则同时作用 \(X^{d-s-1}\) 得到 \(a_s u_{d-1} = b_s w_{d-1}\)．注意 \(u_{d-1} \in U^\perp\) 和 \(w_{d-1} \notin U^\perp\) 线性无关，于是 \(a_s = b_s = 0\)，矛盾．这意味着 \(v = 0\)．
\((U \oplus W) \cap (U \oplus W)^\perp = \{0\}\)．为此取其中一 \(v = \sum_{k=0}^{d-1} a_k u_k + \sum_{k=0}^{d-1} b_k w_k\)，反设 \(s\) 是使得 \(a_s \neq 0\) 或 \(b_s \neq 0\) 的第一个正整数．则 \(X^{d-s-1} v = a_s u_{d-1} + b_s w_{d-1}\)，于是（回忆 \(u_{d-1} \in U^\perp\)，\(\varphi(u_{d-1}, w_0) = 1\)） \[ \begin{aligned} 0 &= \varphi(u_{d-s-1}, v) = \varphi(u_0, X^{d-s-1} v) = b_s \varphi(u_0, w_{d-1}) = b_s \varphi(u_{d-1}, w_0) \\ 0 &= \varphi(w_{d-s-1}, v) = \varphi(w_0, X^{d-s-1} v) = a_s \varphi(w_0, u_{d-1}) + b_s \varphi(w_0, w_{d-1}) \end{aligned} \] 回忆 \(\pm \varphi(w_0, u_{d-1}) = \pm \varphi(u_{d-1}, w_0) = \pm 1\)，因此 \(a_s = b_s = 0\)，矛盾，因此 \(v = 0\)．
因此 \(U \oplus W\) 是 \(X\) 的一个 \(2d\) 维不变子空间，且 \(X\) 在 \(U \oplus W\) 上实现为两个 \(d\) 阶 Jordan 块的直和．由 \(X \in \mathfrak{g}\) 的斜自伴性知 \((U \oplus W)^\perp\) 也是 \(X\)-不变子空间，在其上重复上述过程归纳即可．
6 约化到标准型
证明. 不妨在 \(V = V_i\) 里工作并在此空间内作基本构造．设基本构造使用的基底是 \((e_k) \subseteq V\)，非退化双线性型为 \(\varphi_0\)，幂零元为 \(X_0 \in \mathfrak{o}(V, \varphi_0)\)．由 命题 3 或 命题 4，存在 \(h \in \mathrm{GL}(V)\) 使得 \(\varphi(hv, hw) = \varphi_0(v, w)\)．构造 \(X_1 := h X_0 h^{-1} \in \mathfrak{o}(V, \varphi)\)，它斜自伴是因为： \[ \begin{aligned} \varphi(X_1 v, w) + \varphi(v, X_1 w) &= \varphi(h X_0 h^{-1} v, w) + \varphi(v, h X_0 h^{-1} w) \\ &= \varphi_0(X_0 \cdot h^{-1} v, h^{-1} w) + \varphi_0(h^{-1} v, X_0 \cdot h^{-1} w) \\ &= 0 \end{aligned} \] 同时 \(X_1\) 在基底 \((h e_k)\) 上的矩阵是 Jordan 标准型，\(\varphi\) 在基底 \((h e_k)\) 上的矩阵是反对角的．注意 \(X_1\) 与 \(X\) 有相同的 Jordan 型且同属 \(\mathfrak{o}(V,\varphi)\)，故由 定理 1，存在 \(g \in O(V,\varphi)\) 使得 \(g X_1 g^{-1} = X\)．现在使用基底 \((g h e_k)\)，则 \(X\) 的矩阵是 Jordan 标准型，而利用 \(g\) 的正交性，\(\varphi\) 的矩阵仍然是反对角的： \[ \varphi(g h e_i, g h e_j) = \varphi(h e_i, h e_j) = \varphi_0(e_i, e_j) \] 故 \((g h e_k)\) 就是我们所求的基底．
注记. 这一步的证明在 [1, section 1.11] 的第一句话处一笔带过．
7 经典李代数中的 Jacobson–Morozov 定理
上一节完成的正交群幂零轨道分类工作颇有表示论的风味．从矩阵的语言来看，我们显式构造了一个 \(V\) 上的可逆线性变换，同时合同地调整非退化双线性型 \(\varphi \in V^* \otimes V^*\) 并相似地调整斜自伴幂零算子 \(X \in V \otimes V^*\)，使得 \(X\) 化为 Jordan 标准型，且块与块间正交．本节首先利用分类结果证明经典李代数上的 Jacobson–Morozov 定理，借此为幂零轨道分类提供一个表示论风格的阐述，最后反过来利用 Jacobson–Morozov 定理重新提供一个更干净整洁的非构造性证明．
Jacobson–Morozov 定理允许我们为任何幂零元 \(X \in \mathfrak g\) 补出其对应的 \(\mathfrak{sl}_2\)-三元组 \((X,Y,H)\)：
一般情况的证明需用到 Killing 型、抽象 Jordan 分解和 Cartan 根空间分解，但这里我们可以为经典李代数提供显式构造证明．
先看 A 型．设 \(X \in \mathfrak{sl}(V)\) 幂零，选取基底使 \(X\) 化为若干 Jordan 块 \(\mathrm J_d\) 的直和．不妨设单个 \(d\) 维块上基底 \((e_1, \dots, e_d)\) 使得 \(X e_k = e_{k-1}\)（\(e_0 := 0\)）．则定义 \(H\) 和 \(Y\) 在此基下的矩阵： \[ H e_k = (d+1-2k) e_k \qquad \mathrm H_d := \operatorname{diag}(d-1, d-3, \dots, -(d-1)) \] \[ Y e_k = \begin{cases} k(d-k) e_{k+1} & \quad 1 \leq k \leq d-1 \\ 0 & \quad k = d \end{cases} \qquad \mathrm Y_d := \begin{pmatrix} 0 & & & & \\ 1 \cdot (d-1) & 0 & & & \\ & 2 \cdot (d-2) & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & (d-1) \cdot 1 & 0 \end{pmatrix} \] 这就是 \(\mathfrak{sl}_2\) 的 \(d\) 维不可约表示的标准构造．各块拼接即完成 A 型的构造．
现在看 B, C, D 型．设 \(X \in \mathfrak g := \mathfrak o(V, \varphi)\) 幂零，非退化双线性型 \(\varphi\) 对称或斜对称．由 定理 2，可选取基底使 \(X\) 为 Jordan 标准型且 \(\varphi\) 的矩阵为 小节 4 中的反对角构造．现在在每个子块补出 \(Y, H\)：
- 对单块情形 式 1，直接沿用 A 型构造的 \(\mathrm Y_d, \mathrm H_d\)．
- 对成对块情形 式 2，直接相对其基底 \((e_1, \dots, e_d, f_1, \dots, f_d)\) 使用矩阵 \(\mathrm Y := \begin{pmatrix} \mathrm Y_d & 0 \\ 0 & \mathrm Y_d \end{pmatrix}\) 和 \(\mathrm H := \begin{pmatrix} \mathrm H_d & 0 \\ 0 & \mathrm H_d \end{pmatrix}\) 即可．
小心仔细的计算表明无论是单个块还是成对的块，\(Y, H\) 仍满足斜自伴条件：
证明 (验证 \(Y, H\) 的斜自伴性). 我们在矩阵记号下工作．回忆 \(\mathfrak g = \{ \mathrm M : \mathrm M^T \Phi = -\Phi \mathrm M \}\)．
单块情形：设块大小为 \(d\)， \[ \begin{aligned} \mathrm H_d &= \operatorname{diag}(d-1, d-3, \dots, -(d-1)) & \Phi_d &= \operatorname{antidiag}((-1)^{d-1},\dots,-1,1), \\ \mathrm Y_d &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1(d-1) & 0 \\ & 2(d-2) & 0 \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & (d-1)\cdot 1 & 0 \end{pmatrix} & \mathrm Y_d^T &= \begin{pmatrix} 0 & 1(d-1) \\ & 0 & 2(d-2) \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & 0 & (d-1)\cdot 1 \\ & & & & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \] 手动计算验证 \(\mathrm H_d^T \Phi_d = -\Phi_d \mathrm H_d\) 和 \(\mathrm Y_d^T \Phi_d = -\Phi_d \mathrm Y_d\) 即可．
成对块情形：此时 \[ \Phi = \begin{pmatrix} 0 & \Phi_d \\ \varepsilon \Phi_d^T & 0 \end{pmatrix} \quad \mathrm H = \begin{pmatrix} \mathrm H_d & 0 \\ 0 & \mathrm H_d \end{pmatrix} \quad \mathrm Y = \begin{pmatrix} \mathrm Y_d & 0 \\ 0 & \mathrm Y_d \end{pmatrix} \quad \varepsilon = \pm 1 \]
对 \(\mathrm H\)： \[ \mathrm H\Phi = \begin{pmatrix} 0 & \mathrm H_d \Phi_d \\ \varepsilon \mathrm H_d \Phi_d^T & 0 \end{pmatrix} \qquad -\Phi \mathrm H = \begin{pmatrix} 0 & -\Phi_d \mathrm H_d \\ -\varepsilon \Phi_d^T \mathrm H_d & 0 \end{pmatrix} \] 右上块 \(\mathrm H_d \Phi_d = -\Phi_d \mathrm H_d\) 即单块结论．对左下块，将单块结论取转置得 \(\Phi_d^T \mathrm H_d = -\mathrm H_d \Phi_d^T\)，即 \(\mathrm H_d \Phi_d^T = -\Phi_d^T \mathrm H_d\)，两边乘 \(\varepsilon\) 即得所需．
对 \(\mathrm Y\)： \[ \mathrm Y^T \Phi = \begin{pmatrix} 0 & \mathrm Y_d^T \Phi_d \\ \varepsilon \mathrm Y_d^T \Phi_d^T & 0 \end{pmatrix} \qquad -\Phi \mathrm Y = \begin{pmatrix} 0 & -\Phi_d \mathrm Y_d \\ -\varepsilon \Phi_d^T \mathrm Y_d & 0 \end{pmatrix} \] 右上块 \(\mathrm Y_d^T \Phi_d = -\Phi_d \mathrm Y_d\) 即单块结论．左下块由单块结论取转置 \(\Phi_d^T \mathrm Y_d = -\mathrm Y_d^T \Phi_d^T\) 即得 \(\mathrm Y_d^T \Phi_d^T = -\Phi_d^T \mathrm Y_d\)，两边乘 \(\varepsilon\) 即得所需．
因此我们完成了 B, C, D 型的构造．
注记. 如果不执着于将 \(X\) 实现为 Jordan 标准型，适当放缩，\(m+1\) 阶单块矩阵的三元组和 Gram 矩阵可以获得更对称的矩阵写法： \[ \mathrm X := \begin{pmatrix} 0 & m & & & \\ & 0 & m-1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ & & & & 0 \end{pmatrix} \quad \mathrm Y := \begin{pmatrix} 0 & & & & \\ 1 & 0 & & & \\ & 2 & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & m & 0 \end{pmatrix} \] \[ \mathrm H := \operatorname{diag}(m, m-2, \dots, -m+2, -m) \] \[ \Phi := \begin{pmatrix} & & & \binom{m}{0} \\ & & -\binom{m}{1} & \\ & \dots & & \\ (-1)^{m} \binom{m}{m} & & & \end{pmatrix} \] 这里的 \(\binom{m}{k}\) 是二项式系数．
8 表示论风格的分类重证
由于 Jacobson–Morozov 定理有完全不依赖经典李代数的抽象证明，可以考虑反过来利用它来重新为幂零轨道分类提供一个更干净整洁的非构造性证明．
为幂零元 \(X \in \mathfrak g := \mathfrak{o}(V, \varphi)\) 补出 \(\mathfrak{sl}_2\)-三元组 \((X, Y, H)\) 后，\(V\) 成为一个 \(\mathfrak{sl}_2\)-模．由 \(\mathfrak{sl}_2\)-模的表示理论，其完全分解为 \[ V \cong \bigoplus_k V_k^{\oplus r_k} \cong \bigoplus_k (V_k \otimes \mathbb C^{\oplus r_k}) \] 其中 \(V_k\) 是 \(k\) 维不可约表示，\(X\) 在每个 \(V_k\) 上的作用恰为一个 \(k\) 阶幂零 Jordan 块．故 Jordan 型由重数 \(r_k\) 完全确定．
\(X\) 的斜自伴性意味着 \(\varphi\) 是 \(V \to V^*\) 的 \(\mathfrak{sl}_2\)-模同态，即 \(\varphi \in (V^* \otimes V^*)^{\mathfrak{sl}_2}\)．在 \(V^* \otimes V^*\) 上使用上面的分解： \[ V^* \otimes V^* \cong \bigoplus_{i,j} (V_i^* \otimes V_j^*) \otimes (\mathbb C^{\oplus r_i} \otimes \mathbb C^{\oplus r_j}) \] \(\mathfrak{sl}_2\) 只作用于 \(V_i^* \otimes V_j^*\)．注意 \(\mathfrak{sl}_2\)-表示是自伴的 \(V_k \cong V_k^*\)，故由 Schur 引理，\(i \neq j\) 时 \((V_i^* \otimes V_j^*)^{\mathfrak{sl}_2} \cong \operatorname{Hom}_{\mathfrak{sl}_2}(V_i, V_j) = 0\)，故可不考虑交叉项，上式简化为： \[ (V^* \otimes V^*)^{\mathfrak{sl}_2} \cong \bigoplus_k (V_k^* \otimes V_k^*)^{\mathfrak{sl}_2} \otimes (\mathbb C^{\oplus r_k} \otimes \mathbb C^{\oplus r_k}) \] 仍由 Schur 引理，\((V_k^* \otimes V_k^*)^{\mathfrak{sl}_2} \cong \operatorname{Hom}_{\mathfrak{sl}_2}(V_k, V_k^*)\) 是一维线性空间．我们其实在上一小节手动完成经典李代数的 Jacobson–Morozov 定理时已经构造出其中的一个非零元素（即单块情形的反对角构造），故 \(V_k\) 是对称还是斜对称由维数 \(k\) 的奇偶性决定：\(k\) 偶数时斜对称，\(k\) 奇数时对称．
来考虑张量积右侧另一半：\(\mathbb C^{\oplus r_k}\) 上的一个非退化双线性型．回忆 命题 3 和 命题 4，这后一个双线性型为对称时对 \(r_k\) 无限制，为斜对称时 \(r_k\) 必须为偶数．于是：
- 若 \(\varphi\) 对称：\(k\) 为偶数时 \(V_k\) 侧是斜对称，故 \(\mathbb C^{\oplus r_k}\) 上的双线性型必须是斜对称，从而 \(r_k\) 为偶数；\(k\) 奇数时 \(V_k\) 侧的型是对称，故 \(\mathbb C^{\oplus r_k}\) 上的型也可以取对称，对 \(r_k\) 无限制．
- 若 \(\varphi\) 斜对称（\(\mathfrak{sp}\) 情形）：\(k\) 为奇数时 \(V_k\) 侧的型是对称，故 \(\mathbb C^{\oplus r_k}\) 上的双线性型必须是斜对称，从而 \(r_k\) 为偶数；\(k\) 偶数时 \(V_k\) 侧的型是斜对称，故 \(\mathbb C^{\oplus r_k}\) 上的型可以取对称，对 \(r_k\) 无限制．
这正好是合法分拆的条件——\(\mathfrak{so}(V)\) 中偶数大小块出现偶数次，\(\mathfrak{sp}(V)\) 中奇数大小块出现偶数次．我们重新完成了幂零轨道的分类．
注记.
- Some of the ideas from Mathoverflow
9 特殊正交群 \(\operatorname{SO}_{2n}\) 与轨道分支现象
回到之前提到的作用群选择问题．我们提到特殊正交群 \(\operatorname{SO}\) 的产生的轨道可能更细．记 \(G := O(V, \varphi)\)，\(G^\circ := \operatorname{SO}(V, \varphi)\)，\(\mathfrak{g} := \mathfrak{so}(V, \varphi)\)．
证明. 设 \(g \in G\) 且 \(\det g = -1\)，则 \(G = G^\circ \sqcup G^\circ g\)．于是 \[ G^\circ \cdot X = G^\circ g \cdot X \iff g \cdot X \in G^\circ \cdot X \\ \iff \exists h \in G^\circ,\, hg \cdot X = X \] 注意 \(\det (hg) = -1\)，这完成了证明．
这种元素其实相当常见，例如 \(-1\) 就给出了空间是奇数维时的例子．考虑到我们的幂零轨道分类结果，只要分拆中存在至少奇数大小的块，在此块上取 \(-1\)、其它块上取 \(1\) 就给出了一个满足条件的元素．因此只有当分拆中全是偶数大小的块时，才可能出现轨道分裂现象．这是所谓的非常偶（very even）的情形，只可能在 \(D_n\) 型李代数 \(\mathfrak{so}_{2n}\) 中出现．关于此时幂零轨道确实分裂的证明可参考 [1, section 3.13]．