\(\mathfrak{gl}_n\)，幂零轨道与支配序
幂零锥和其上的几何：以 \(\mathfrak{gl}_n\) 为例
1 序
我们面向了解仿射簇、代数群、李代数但尚不熟练的读者，从相对具体的 \(\mathfrak{gl}_n\) 或 \(\mathfrak{sl}_n\) 切入，入门友好地为李代数上幂零锥的几何提供一些感觉．
2 \(\mathfrak{gl}_n\)，\(\mathrm{GL}_n\) 和共轭轨道
\(\mathfrak{gl}_n\) 是全体 \(n\) 阶复方阵组成的李代数，一个 \(n^2\) 维的仿射空间．不妨用 \(X = (x_{ij})\) 来标识其不定元．如果你更喜欢半单李代数，\(\mathfrak{sl}_n\) 是 \(\mathfrak{gl}_n\) 的一个 \(n^2-1\) 维子李代数、理想和闭子簇．
注记 (\(\mathfrak{gl}_n\) vs. \(\mathfrak{sl}_n\)). \(\mathfrak{gl}_n\) 是约化李代数（reductive Lie algebra）．这个概念比半单的 \(\mathfrak{sl}_n\) 稍微广一点：约化李代数是半单李代数和一个 Abel 李代数的直和．例如，\(\mathfrak{gl}_n = \mathfrak{sl}_n \oplus \mathbb{C}\)．大量半单李代数的性质都可以推广到约化李代数．
行列式 \(\det : \mathfrak{gl}_n \to \mathbb{C}\) 是连续映射，定义 \(\mathrm{GL}_n\) 是 \(V\) 上的全体可逆线性变换组成的群——满足 \(\det X \neq 0\) 的 \(\mathfrak{gl}_n\) 开子集．
所以 \(\mathrm{GL}_n\) 也不可约．
有办法把 \(\mathrm{GL}_n\) 实现成一个真正的仿射簇：考虑 \(n^2 + 1\) 维仿射空间的闭子簇 \(\{(X, t) : \det X \cdot t = 1\} \subseteq \mathfrak{gl}_n \times \mathbb{C}\)．这也相当于是对 \(\mathfrak{gl}_n\) 的函数环在 \(\det X\) 做局部化（得到的代数簇）．
注记. 存在 quasi-affine variety 的具体废话，或者 sheaf 啊 scheme 啊之类的抽象废话证明闭子簇构造和局部化观点，或与作为 \(\mathfrak{gl}_n\) 开子集的 \(\mathrm{GL}_n\) 别无二致．
那么 \(\mathrm{GL}_n\) 现在既是个群，又是个仿射簇，群的乘法和取逆运算还都是代数的（可由多项式定义的），这使得 \(\mathrm{GL}_n\) 成为一个仿射代数群．
考虑 \(\mathrm{GL}_n\) 在 \(\mathfrak{gl}_n\) 上的共轭作用 \(g \cdot X := g X g^{-1}\)．这个作用作为 \(\mathrm{GL}_n \times \mathfrak{gl}_n \to \mathfrak{gl}_n\) 的映射是代数的．考虑某元素 \(X \in \mathfrak{gl}_n\) 在共轭作用下的轨道 \(\mathcal O_X\)，则它是上述映射的一部分 \(\mathrm{GL}_n \to \mathfrak{gl}_n\) 的像．
故由于 \(\mathrm{GL}_n\) 不可约，轨道 \(\mathcal O_X\) 也不可约．
因此 \(\mathcal O_X\) 的闭包 \(\overline{\mathcal O_X}\) 也不可约．
3 幂零锥
考虑 \(\mathfrak{gl}_n\) 中的所有幂零矩阵的集合，我们称它为幂零锥，记作 \(\mathcal N\)．如果你更喜欢半单李代数，限制在 \(\mathfrak{sl}_n\) 中考虑没有区别．此时 \(\mathcal N\) 就是 \(\mathfrak{sl}_n\) 的幂零锥．
注记 (幂零与 \(\operatorname{ad}\)-幂零). 对一般的李代数，因为其上没有定义结合乘法，幂零锥定义为 \(\operatorname{ad}\)-幂零元素的集合．
易见约化李代数的幂零锥就是半单部分的幂零锥直和上 Abel 的部分．例如 \(\mathcal N(\mathfrak{gl}_n) = \mathcal N(\mathfrak{sl}_n) \oplus \mathbb{C}\)．
对半单的线性李代数来说，因为抽象 Jordan 分解和具体 Jordan 分解的一致性，\(\operatorname{ad}\)-幂零和幂零可以不做区分．
Boilerplate？我知道我知道，抽象 Jordan 分解是个很长的故事——但 \(\mathfrak{sl}_n\) 的情形不需要这些废话：
证明 (\(\mathfrak{sl}_n\), \(\mathfrak{gl}_n\) 上的 \(\operatorname{ad}\)-幂零). 回忆线性李代数中 \(\operatorname{ad}\)-幂零和幂零关系的基本处理方法：
幂零推 \(\operatorname{ad}\)-幂零是标准的左乘减右乘高次幂二项式定理论证，全球通用．
\(\operatorname{ad}\)-幂零推幂零，设 \(x \in \mathfrak g\) \(\operatorname{ad}\)-幂零，考察具体 Jordan 分解 \(x = x_s + x_n\)，其中 \(x_s\) 半单，\(x_n\) 幂零，\([s, n] = 0\)．现在假定 \(x_s\) 和 \(x_n\) 还落在 \(\mathfrak g\) 中，用 \(\operatorname{ad}\) 线性性把此式推到 \(\operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathfrak g)\) 得 \(\operatorname{ad}x = \operatorname{ad}x_s + \operatorname{ad}x_n\)．取基本矩阵容易验证 \(\operatorname{ad}x_s\) 半单；前面已经证明 \(x_n\) 幂零导致 \(\operatorname{ad}x_n\) 幂零；Jacobi identity 嗯拆算得 \([\operatorname{ad}x_s, \operatorname{ad}x_n] = 0\)．所以这是 \(\operatorname{ad}x \in \operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathfrak g)\) 的具体 Jordan 分解．由具体 Jordan 分解的唯一性和 \(\operatorname{ad}x\) 幂零立得 \(\operatorname{ad}x_s = 0\)．\(\mathfrak g\) 半单导致 \(\operatorname{ad}\) 单，所以 \(x_s = 0\)．
可以看到唯一的堵点在于证明 \(x_s\) 和 \(x_n\) 落在 \(\mathfrak g\) 中——但这在 \(\mathfrak{sl}_n\) 的情形是显然的——所以 QED．
另外，上面半单性其实只有 \(\operatorname{ad}\) 单的最后一步用到．同样的证明适用于证明 \(\mathfrak{gl}_n\) 上 \(\operatorname{ad}\)-幂零就是差一个数乘的幂幺（形如 \(\lambda I + N\)，\(N\) 幂零）——只需注意最后一步 \(\operatorname{ad}x_s\) 就是 \(\mathfrak{gl}_n\) 的中心即可．注意这与我们之前讨论的约化李代数的幂零锥的结果一致．
幂零性质可以转写其特征多项式满足 \(\det(tI - X) = t^n\)．注意特征多项式的各系数都是 \(X\) 上的多项式函数，所以 \(\mathcal N\) 是 \(\mathfrak{gl}_n\) 的一个闭子集．
注记 (一般李代数幂零锥上的几何). 对一般的 \(n\) 维李代数 \(\mathfrak g\)，固定 \(\mathfrak g\) 的一组基 \((e_i)\)．取每个元素 \(x\) 在这组基下的坐标 \(x_i\) 作为多项式的不定元，这将 \(\mathfrak g\) 实现成一个 \(n\) 维仿射空间．现在每个 \(\operatorname{ad}x = \sum_i x_i \operatorname{ad}e_i\)．注意 \(\operatorname{ad}e_i\) 都完全由 \(\mathfrak g\) 的结构决定，因此 \(\operatorname{ad}x\) 的特征多项式的系数都是 \(x_i\) 的多项式函数．这样就将一般李代数的幂零锥实现为了 \(n\) 维仿射空间的一个闭子集．
我们作如下断言：任取一个 \(\mathcal N\) 中幂零指数为 \(n\) 的幂零元素 \(X\)，其幂零轨道 \(\mathcal O_X\) 是 \(\mathcal N\) 中的一个稠密开集，从而由轨道的不可约性，\(\mathcal N = \overline{\mathcal O_X}\) 不可约．
要求幂零指数恰为 \(n\)，就是要求幂零的同时，\(X^{n-1} \neq 0\)．这相当于从幂零锥中挖走了一个闭集，当然剩下一个相对幂零锥的开集．至于其稠密性，在后面给出全体轨道上的几何后就会明朗．
注记. 一般来说，约化 / 半单李代数的幂零锥都不可约，是李代数的闭子簇．证明路径也是类似的：此类李代数的幂零锥中存在元素 \(X\)，使得其关于其 \(\operatorname{Ad}\)-群作用的幂零轨道 \(\mathcal O_X\) 是幂零锥中的一个稠密开集．这种元素被称为 regular / principal nilpotent element，并有诸如中心化子维数最小等其它刻画．
4 幂零轨道的支配序
Jordan 标准型理论告诉我们，幂零轨道完全由幂零元素的 Jordan 型决定，后者与 \(n\) 的整数分拆（partition）或 Young 图（Young diagram）一一对应．故以后也用 \(\mathcal O_\lambda\) 的记号表示 Jordan 型为 \(\lambda\) 的元素生成的幂零轨道．
注记 (一般半单李代数上的幂零轨道分类). Bala-Carter 定理：半单李代数 \(\mathfrak g\) 上的幂零轨道与 \(\mathfrak g\) 的 Levi 子代数上的 distinguished nilpotent orbit 的集合之间存在一一对应．
我们关心其上的几何，例如幂零轨道的维数和闭包关系．本篇中我们先处理闭包关系．在幂零轨道上定义偏序：如果 \(\mathcal O_1 \subseteq \overline{\mathcal O_2}\)，就定义 \(\mathcal O_1 \trianglelefteq \mathcal O_2\)，称为幂零轨道上的支配序关系（dominance order）．
注记 (Specialization Order). 一般来讲，任何拓扑空间都可以通过取闭包包含的关系定义出一个预序（不保证反对称性的偏序关系），名曰 specialization preorder．
名字不是白起的，分拆上也有同名的偏序关系：如果分拆 \(\lambda\) 的每个前缀和都大于等于 \(\mu\) 的对应前缀和，则定义 \(\lambda \trianglerighteq \mu\)．形象地，利用 Young 图，这可以想象为：
考虑 \(\lambda\) 对应 Young 图中那些比下一行至少多两个方块的行，让这一行最右侧方块“掉落”到下一行．如此操作构成支配序的盖住关系（covering relation）．如果操作若干次可以变成 \(\mu\) 的 Young 图，则 \(\lambda \trianglerighteq \mu\)．例如，\((4,2)\) 盖住 \((3,3)\) 的图示如下： \[ \begin{array}{cccc} \bullet & \bullet & \bullet & \boxed\bullet \\ \bullet & \bullet \end{array} \quad\longrightarrow\quad \begin{array}{ccc} \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \boxed\bullet \end{array} \]
下面的命题说明两种序其实没有区别：
证明 (\(\implies\) 侧的证明). 这里提供一种基于“连续路径”的证明．
先找感觉．考虑 running example \(\lambda = (4,2)\), \(\mu = (3,3)\)，\(\lambda \trianglerighteq \mu\)．如何连续地把幂零 Jordan 标准型矩阵 \(J_{(4,2)}\) 变成 \(J_\mu\) 呢？这样做： \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & & \\ & 0 & 1 & & & \\ & & 0 &1-t& & \\ & & & 0 & & \\ & & & & 0 & 1 \\ & & & t & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 这里列出标准基底 \(e_4\) 在上述矩阵多次作用下的变化情况： \[ e_4 \longrightarrow \left\{\begin{aligned} t e_6 &\longrightarrow& t e_5 &\longrightarrow& 0& \\ (1-t) e_3 &\longrightarrow& (1-t) e_2 &\longrightarrow& (1-t) e_1 &\longrightarrow& 0 \end{aligned}\right. \] 可以看到：
- 当 \(t=0\) 时，就是 \(J_{(4,2)}\)；
- 当 \(t \neq 1\) 时，Jordan 型为 \((4,2)\)；
- 当 \(t=1\) 时，Jordan 型突变为 \((3,3)\)．
这就是一条从 \(\mathcal O_{(4,2)}\) 内部移动到 \(\mathcal O_{(3,3)}\) 边缘的一条“连续路径”！
抛开例子，上述论证对任意盖住关系都适用——关注 Young 图相邻两行之间的掉落即可！多做几次就可以证明两种序的等价．
现在严格化“连续路径”的概念．仍以 \((4,2)\), \((3,3)\) 为例，我们取的这条路径 \(\Gamma\)，可以看作是要求矩阵的 \(x_{3,4} + x_{6,4} = 1\)，其它 entry 定死——因此 \(\Gamma\) 是 \(\mathcal N\) 的一个闭子集，除了 \(t=1\) 一点之外全都落在 \(\mathcal O_{(4,2)}\) 中．故 \[ \Gamma \cap \overline{\mathcal O_{(4,2)}} \supseteq \overline{\Gamma \cap \mathcal O_{(4,2)}} = \Gamma \] 因此 \(\Gamma \subseteq \overline{\mathcal O_{(4,2)}}\)，\(t=1\) 这个点也落在 \(\overline{\mathcal O_{(4,2)}}\) 中．
证明 (\(\impliedby\) 侧的证明). 注意如下若干事实：
秩函数具有下半连续性（lower semicontinuity）：秩不大于某数 \(k\) 的矩阵是闭集．秩的子式定义可以为此提供一个一句话证明：对这些矩阵的要求等价于大于 \(k\) 阶的子式全为零．
此性质使得当我们对幂零轨道取闭包时，元素的秩只能变小．
Jordan 型为 \(\lambda\) 的幂零矩阵 \(X\) 满足其 \(i\) 次幂的秩就是 Young 图 \(\lambda\) 去掉前 \(i\) 列剩下的方块数： \[ \operatorname{rk}X^k = n - \sum_{i=1}^n (\lambda^T)_i, \quad k = 0, 1, \dots \] 这里 \(\lambda^T\) 是分拆 \(\lambda\) 的转置，即 Young 图沿主对角线的翻转．反过来这为我们提供了计算 Jordan 型的秩方法： \[ (\lambda^T)_i = \operatorname{rk}X^{i-1} - \operatorname{rk}X^i \]
\(\lambda \trianglerighteq \mu\) 当且仅当 \(\lambda^T \trianglelefteq \mu^T\)．可以通过 Young 图的掉落操作直观感受和证明这一点．
现在设 \(\mathcal O_\lambda \trianglerighteq \mathcal O_\mu\)．不妨任取 \(X \in \mathcal O_\lambda\), \(Y \in \mathcal O_\mu\)．注意 \(\mu^T\) 的第 \(k\) 个前缀和是 \(n - \operatorname{rk}Y^k\)，根据秩的下半连续性，它不小于 \(\lambda^T\) 的第 \(k\) 个前缀和．因此 \(\mu^T \trianglerighteq \lambda^T\)，故 \(\lambda \trianglerighteq \mu\)．
特别地，\(\mathcal O_{(n)}\) 支配所有其它幂零轨道，故其在幂零锥中稠密．