DVR 乱炖

当局部 Noether 环 \(A\) 的极大理想 \(\mathfrak m\) 是主理想时，\(A\) 的理想结构将变得异常简单．

命题 1 ([1, proposition 8.8]，有改动) 设 \((A, \mathfrak m)\) 是局部 Noether 环，则以下等价：

• \(A\) 是主理想环（PIR）；
• \(\mathfrak m\) 是主理想；
• 作为 \(A / \mathfrak m\)-线性空间，\(\dim (\mathfrak m / \mathfrak m^2) \leq 1\)；
• \(A\) 是单链（uniserial）环，即其所有理想在包含关系下构成全序集；
• \(A\) 的全体（非平凡）理想均形如 \(\mathfrak m^k\)．

Proof

证明. 我们需要引用 Krull 交定理在局部环上的版本来获得 \[ \bigcap_{i \geq 0} \mathfrak m^i = (0) \]

TODO．

当 \(A\) 是整环时，这种性质优秀的环被称为离散赋值环（DVR）．

Acknowledgement

感谢 Luna 在本文写作过程中提供的帮助和建议．

References

[1]

M. F. Atiyah 和 I.G. Macdonald, Introduction To Commutative Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1969.