对称群的复不可约表示
我们简明快速地完成对称群的复不可约表示的分类．本文主要微调自 [1, section 4.2]，亦少量参考 [2, chapter 2]．推荐读者阅读前熟悉群的复表示的基本常识 [1, chapter 1–2] 和群代数模的观点．
1 速览
一个 Young 图由一个整数分拆 \(\lambda \vdash n\) 唯一确定，一个 Young 表将一个 \(n\) 元置换填入 Young 图——本质上是一组信息 \(T = (\lambda \vdash n, \sigma \in \mathcal S_n)\)．如果 \(T\) 的各行各列均严格单增，则称 \(T\) 是标准 Young 表．
\[ \begin{matrix} \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet \end{matrix} \]
\[ \begin{matrix} 2 & 3 & 9 & 8 \\ 5 & 4 & 6 \\ 7 & 1 \end{matrix} \]
置换 \(g \in \mathcal S_n\) 作用在全体形状为 \(\lambda\) 的 Young 表 \(T\) 上的方式为将数字 \(i\) 替换为 \(g(i)\)，即 \(gT := (\lambda, g \sigma)\)．易见对称群在固定形状 Young 表上的作用忠实且传递．作用在给定 Young 表 \(T\) 上的效果表现为对同行元素的置换的那些置换构成的群记为 \(P_T\)，置换同列元素的记为 \(Q_T\)．易见 \(P_T\) 和 \(Q_T\) 交平凡，两群之并生成整个 \(\mathcal S_n\)．
注记 (置换计算速记).
\(\sigma \mapsto g \sigma\)：对数字做置换，\((12)(23)\) 是先交换数字 \((2, 3)\)，再交换数字 \((1, 2)\)．
\(\sigma \mapsto \sigma g\)：对位置做置换，\((12)(23)\) 是先交换位置 \((1,2)\) 上的数字，再交换位置 \((2,3)\) 上的数字．
\(\sigma \mapsto g \sigma g^{-1}\)：对 \(\sigma\) 做字面上 \(g\) 的重标号．\((123)(1234)(123)^{-1} = (2314)\)
轮换计算技巧：\((2341) = (1234)=(12)(23)(34)\)，数字无交集可交换．
来刻画不同 Young 表行、列置换之间的关系：
- \(P_{gT} = g P_T g^{-1}\)
- \(Q_{gT} = g Q_T g^{-1}\)
设 \(\mathbb C[\mathcal S_n]\) 是 \(S_n\) 的复群代数，即其复正则表示．定义：
- 行对称化子 \(a_T := \sum_{g \in P_T} g \in \mathbb C[\mathcal S_n]\)
- 列对称化子 \(b_T := \sum_{g \in Q_T} \operatorname{sgn}(g) g \in \mathbb C[\mathcal S_n]\)
- Young 对称化子 \(c_T := a_T b_T\)
注记. 将 Young 对称化子定义为 \(b_T a_T\) 也是可以的，请参考 [1, exercise 4.4]．
容易验证对称化子满足如下性质：
Young 表 \(T\) 诱导得到的 Specht 模 \(V_T\) 定义为 \(\mathbb C[\mathcal S_n] c_T\)，于是 \(\mathcal S_n\) 复不可约表示分类描述如下：
- 每个 Specht 模都是 \(\mathcal S_n\) 的不可约表示
- 两个 Specht 模同构当且仅当诱导它们的 Young 表具有相同的形状
- \(\mathcal S_n\) 的每个不可约表示都同构于某一 Specht 模
2 Schur 引理
我们关心的所有 Specht 模的性质可以紧凑地写为如下命题：
即要求我们验证 Specht 模们满足 Schur 引理——根据有限群表示论的基本结果，这将自动导出每个 Specht 特征标的不可约性和它们之间的同构情况．再利用对称群的共轭类数等于整数分拆数等于 Young 表形状数的事实，我们就完成了 \(\mathcal S_n\) 的复不可约表示的分类．
3 Hom 的新刻画
假定我们已经证明 \(c_T\) 是 \(\mathbb C[\mathcal S_n]\) 中的幂等元（或其常数倍），则上述 Hom 空间有更好的刻画：
这一结果由如下一般的命题提供：
证明. 这是因为每个 \(R e \to M\) 的 \(R\)-同态 \(\varphi\) 都由 \(e \mapsto \varphi(e)\) 唯一确定，且 \(\varphi(e) = \varphi (e^2) = e \varphi(e) \in e M\)．
于是 \[ \operatorname{Hom}_{\mathcal S_n}(V_T, V_S) = \operatorname{Hom}_{\mathcal S_n}(\mathbb C[\mathcal S_n] c_T, \mathbb C[\mathcal S_n] c_S) \cong c_T \mathbb C[\mathcal S_n] c_S \]
根据上述讨论，接下来的首要任务是研究 \(c_T\) 的幂等性和 \(c_T \mathbb C[\mathcal S_n] c_S\) 的维数．注意 \(c_T = a_T b_T\) 且 \(c_T x c_S = a_T (b_T x a_S) b_S\)，故两个问题都需要我们更详细地研究 \(a_T x b_S\) 的性质．
4 同形状的情形
首先介绍一个必要的组合结果．
1 Same row, different column
证明. (1) => (2): 如图所示，将 \(T\) 中第一行全体元素取出，其在 \(S\) 中的对应元素必然在不同列．因此，可以通过 \(S\) 上的列置换将其移至 \(S\) 的第一行．随后对 \(T\) 的第一行元素做行置换即可使得 \(T\) 的第一行与 \(S\) 的第一行相同．顺次对第二行，第三行完成上述操作即可． \[ \begin{matrix} T & \begin{matrix} i & j & k & l \\ * & * & * \\ * & * \end{matrix} & \xrightarrow{p_1 \in P_T} & \begin{matrix} l & k & i & j \\ * & * & * \\ * & * \end{matrix} & \xrightarrow{p_2 \in P_T} & \dots \\ \\ S & \begin{matrix} l & * & * & j \\ * & * & i \\ * & k \end{matrix} & \xrightarrow{q'_1 \in Q_S} & \begin{matrix} l & k & i & j \\ * & * & * \\ * & * \end{matrix} & \xrightarrow{q'_2 \in Q_S} & \dots \end{matrix} \]
(2) => (3): 设 \(S = gT\)，则存在 \(q \in Q_T\) 使得 \(q' = g q g^{-1}\)，则 \(pT = q'S = (g q g^{-1}) (gT) = gq T\)，即 \(p = gq\) 或 \(g = p q^{-1}\)．
(3) => (1): 考虑 \(T\) 中的某一行的数字．\(q\) 对 \(T\) 的作用将它们上下平移．\(p\) 对 \(qT\) 的作用再对它们做一个内部的置换．操作结束后，它们仍在不同列．
注记. 值得一提，\(P_T\), \(Q_T\) 并不互相交换，二者的乘积也不构成群．
证明. 不妨设 \(c = \sum_{g \in \mathcal S_n} n_g g\) 是满足对任意 \(p \in P_T\), \(q \in Q_T\)，有 \(p c q = \operatorname{sgn}(q) c\) 的某一 \(\mathbb C[\mathcal S_n]\) 中元素．注意我们已经知道满足这条件的 Young 对称化子 \[ c_T = a_T b_T = \sum_{p \in P_T} \sum_{Q \in Q_T} \operatorname{sgn}(q) pq \] 所以我们应当指望，也只需证明如下两个事实：
- 对任意 \(p \in P_T\), \(q \in Q_T\)，\(n_{pq} = \operatorname{sgn}(q)\) 乘上某个常数．
只需利用 \[ \operatorname{sgn}(q) \sum_{g \in \mathcal S_n} n_g g = \operatorname{sgn}(q) c = pcq = \sum_{g \in \mathcal S_n} n_g pgq \] 便得到 \(n_{pgq} = \operatorname{sgn}(q) n_g\)．特取 \(g=1\) 得 \(n_{pq} = \operatorname{sgn}(q) n_1\)，相对 \(n_1\) 唯一．
- 对所有 \(g \notin P_T Q_T\)，有 \(n_g = 0\) 成立．
由 命题 4，此时存在一对数字 \((i,j)\) 落在 \(T\) 上同行 \(S:=gT\) 上同列的位置，翻译过来便是对换 \(p := (i,j) \in P_T \cap Q_S = P_T \cap g Q_T g^{-1}\)．于是可取对换 \(q := g^{-1} p g \in Q_T\)，这样就有 \[ n_g = n_{pgq} = \operatorname{sgn}(q) n_g = - n_g \] 因此 \(n_g = 0\)．
证明. 设 \(S = gT\)，则 \(c_S \mathbb C[\mathcal S_n] c_T = g c_T \mathbb C[\mathcal S_n] c_T\)，因此只需考察 \(c_T \mathbb C[\mathcal S_n] c_T\) 的维数．由 推论 2，只需证其中存在非零元．直接用 \(V_T \to V_T\) 的恒等映射即可断言确有非零元．
5 不同形状的情形
受之前 命题 4 刻画同形状 Young 表间群作用关系的启发，我们可能也需要从组合上对 Young 表形状不同一事做一点文章．以后设 \(T,S\) 为形状分别为 \(\lambda, \mu \vdash n\) 的 Young 表，不妨设 \(\lambda > \mu\)（这里全序取为 \(n\) 的整数划分的字典序）．
证明. 若不然，设第 \(i\) 行是第一个 \(\lambda_i > \mu_i\) 的行．在此行之前，使用与 命题 4 一样的方法，可以在对 \(T\) 做行置换和对 \(S\) 做列置换后使得 \(T\) 与 \(S\) 的前 \(i-1\) 行相同．考察 \(T\) 的第 \(i\) 行的 \(\lambda_i\) 个元素，它们应落在 \(S\) 的第 \(i\) 行及其下方，且列号互不相同．但这些行的长度 \(\mu_j \leq \mu_i < \lambda\)，根本装不下 \(\lambda_i\) 个元素，矛盾．
注记. 会问在何种程度上此命题的否命题成立．事实上有：若每个落在 \(T\) 中同行的互异数对均落在 \(S\) 中的不同列，则 \(\lambda\) 的每个前缀和均小于等于 \(\mu\) 的对应前缀和（此偏序记为 \(\lambda \trianglelefteq \mu\)，字典序是它的细化版本）．仿照 命题 4 读者自证不难，亦可见 [2, lemma 2.2.4]．
证明. 不妨设这 \(\lambda > \mu\)．由线性性可以只考虑 \(x = g \in \mathcal S_n\) 的情况．由命题 6，存在一对互异数字 \((i,j)\) 既落在 \(T\) 中同一行，也落在 \(gS\) 中同一列，翻译过来就是对换 \(p := (i,j) \in P_T \cap Q_{gS}\)．于是 \[ a_T g b_S = a_T (g b_S g^{-1}) g = a_T b_{gS} g = a_T p p b_{gS} g = \operatorname{sgn}(p) a_T b_{gS} g = -a_T b_{gS} g = -a_T g b_S \] 故 \(a_T g b_S = 0\)．
注记. 在 \(\lambda < \mu\) 时是否也有 \(a_T x b_S = 0\) 呢？答案是肯定的．请参考 [1, Exercise 4.24]．
综上，我们完成了 \(\mathcal S_n\) 的复不可约表示的分类：它们恰为全体 Specht 模 \(V_T\)，其中 \(T\) 是形状为 \(\lambda \vdash n\) 的 Young 表．两个 Specht 模同构当且仅当诱导它们的 Young 表具有相同的形状．
附录
注记 (对称化子的组合观点). 组合上来讲，行对称化后的 Young 表 \(a_T T\) 可以认为是 Young 表 \(T\) 无视行内数字排列得到的行等价类，即我们可以认为 [2, Definition 2.1.4] 书中定义的“tabloid” \(\{ T \} := a_T T\)．此时 \(\mathcal S_n\) 作用在全体形状为 \(\lambda\) 的 tabloid 上形成的表示即是 [2, Definition 2.1.5] 定义的 \(M^T\)．这些 tabloid 构成该表示的一组基，故 \(M^\lambda\) 的维数为 \(n! / \lambda ! := n! / \prod_i \lambda_i !\)．（书中将 \(M^T\) 写作 \(M^\lambda\) 其实不甚严谨：作为集合 \(M^T\) 对所有形状相同的 \(T\) 相等，但其上的模作用是不同的！）
由行对称化子的性质，\(P_T \leq \mathcal S_n\) 作用在 tabloid \(\{ T \}\) 上不会有任何效果．事实上，\(M^T\) 恰为从 \(P_T\) 的平凡表示提升到 \(\mathcal S_n\) 得到的诱导表示 \(1\uparrow_{P_T}^{\mathcal S_n}\)．
除考虑符号问题外，\(b_T T\) 的看法类似可得——即 \(Q_T\) 的交错表示提升到 \(\mathcal S_n\) 的诱导表示．但，如何看待 \(c_T T\) 呢？[2, Definition 2.3.2] 生造的“polytabloid” \(\boldsymbol e_t\) 看上去也十分生硬．但至少 命题 5 指出，做一次 Young 对称化和做很多次 Young 对称化没有区别．
注记 (\(c_T\) 的“幂等系数”). 可设 \(c_T^2 = \alpha c_T\)，\(\alpha \in \mathbb C\)．将 \(c_T\) 看作左乘在 \(\mathbb C[\mathcal S_n]\) 上的线性变换，它几乎是幂等变换，此时 \(\ker c_T \oplus \operatorname{im}c_T = \mathbb C[\mathcal S_n]\)．这里 \(\operatorname{im}c_T\) 就是 \(V_T\)，因此 \(c_T\) 的迹 \(\operatorname{tr}c_T = \alpha \dim V_T\)．注意 \(c_T\) 左作用在 \(g\) 上得到向量的 \(g\) 分量对应系数（记为 \([g] (c_T g)\)）恰为 \(1\)，故 \(\operatorname{tr}c_T = n!\)．综上 \(\alpha = n! / \dim V_T\)．
注记 (关于 \(P_T Q_T \cap Q_T P_T\) 的一个错误猜想，已隐藏). \(\alpha\) 也应等于 \(c_T^2\) 在单位元处的系数 \[ [\operatorname{id}_{\mathcal S_n}] c_T^2 = \sum_{\substack{p_1,p_2 \in P_T \\ q_1, q_2 \in Q_T \\ p_1 q_1 p_2 q_2 = \operatorname{id}_{\mathcal S_n}}} \operatorname{sgn}(q_1) \operatorname{sgn}(q_2) \]
猜想求和中的每一项都满足 \(\operatorname{sgn}(q_1) = \operatorname{sgn}(q_2)\)，这样就有 \[ \alpha = |P_T Q_T \cap Q_T P_T| \] 然而这并不正确．使用如下 Sage 代码可以验证：
# Define the symmetric group
S = SymmetricGroup(8)
"""
1 2 3
4 5 6
7 8
"""
P_gens = [S((1,2)), S((2,3)),
S((4,5)), S((5,6)),
S((7,8))]
Q_gens = [S((1,4)),S((4,7)),
S((2,5)),S((5,8)),
S((3,6))]
# Create the subgroups P and Q
P = S.subgroup(P_gens)
Q = S.subgroup(Q_gens)
print("P", len(P))
print("Q", len(Q))
PQ = Set([p * q for p in P for q in Q])
QP = Set([q * p for q in Q for p in P])
print("PQ:", len(PQ))
print("QP:", len(QP))
# Compute the intersection of P and Q
cap = PQ.intersection(QP)
# Display the intersection
print("PQ cap QP:", len(cap))注记 (关于使用到的复数域 \(\mathbb C\) 的特殊性质).
- 我们使用了 \(\mathbb C\) 特征不整除 \(n!\) 导致的群代数 \(\mathbb C[\mathcal S_n]\) 的半单性．
- 我们使用了群的复不可约表示数量等于群的共轭类的数量的结果．
- 其它论证没有用到 \(\mathbb C\) 的特殊性质．
未来填坑选项：
- 每个 Specht 模 \(V_T\) 的维数恰为形状同 \(T\) 的标准 Young 表的个数
- Specht 模对应的特征标