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sun123zxy's blog https://blog.sun123zxy.top/listings/group-rep-tour/ 有限群表示论，Peter--Weyl 分解，对称群表示论和 Schur--Weyl 对偶． quarto-1.9.34 Sun, 19 Apr 2026 00:00:00 GMT Schur–Weyl 对偶 sun123zxy https://blog.sun123zxy.top/posts/20260419-schur-weyl/ 是群，则对任意 $G$ 的 $n$ 维表示 $V$ ， $V \otimes_{\mathbb C} V$ 都可以分解为子表示 $\operatorname{Sym}^2 V$ 和 $\operatorname{Alt}^2 V$ 的直和，其中 ]]> math algebra https://blog.sun123zxy.top/posts/20260419-schur-weyl/ Sun, 19 Apr 2026 00:00:00 GMT 有限群表示论速通 sun123zxy https://blog.sun123zxy.top/posts/20260312-group-rep-speedrun/ 是有限群， $V$ 是（有限维的） $\mathbb C$ -线性空间，则群同态 $\rho: G \to \operatorname{GL}(V)$ 规定了一个 $G$ 的（复）表示．等价地，这为 $V$ 配备了一个 $G$ -模结构—— $\mathbb C[G]$ -模结构的简写． ]]> math algebra https://blog.sun123zxy.top/posts/20260312-group-rep-speedrun/ Sun, 15 Mar 2026 00:00:00 GMT 有限群表示论：Peter–Weyl 定理 sun123zxy https://blog.sun123zxy.top/posts/20260314-group-rep-peter-weyl/ 这里 $\mathbb C[G]$ 是群 $G$ 的群代数， $V_i$ 是 $G$ 的全体不可约表示．这只是个左 $\mathbb C[G]$ -模的分解： $\mathbb C[G]$ 被分解成了其单左理想的直和．但是 $\mathbb C[G]$ 是个环，完整来说我们应该研究其作为 $\mathbb C$ -代数的分解．Peter–Weyl / Wedderburn–Artin 定理给出了它的分解： $\mathbb C[G] \cong \bigoplus_i \operatorname{End}_{\mathbb C}(V_i) \cong \bigoplus_i V_i \otimes_{\mathbb C} V_i^*$ 可见其结构确实变得更加丰富．稍做辨析： ]]> math algebra https://blog.sun123zxy.top/posts/20260314-group-rep-peter-weyl/ Sat, 14 Mar 2026 00:00:00 GMT 对称群的复不可约表示 sun123zxy https://blog.sun123zxy.top/posts/20250606-symrep/ [1, section 4.2]，亦少量参考 [2, chapter 2]．推荐读者阅读前熟悉群的复表示的基本常识 [1, chapter 1–2] 和群代数模的观点． ]]> math algebra combinatorics https://blog.sun123zxy.top/posts/20250606-symrep/ Sun, 08 Jun 2025 00:00:00 GMT